重力加速度

重力加速度（英語：gravitational acceleration）是一個物體僅受重力作用的情況下所具有的加速度。重力加速度會隨高度增加而下降。

地球附近重力加速度隨距地高度的變化

假設一個質量為${\displaystyle m}$的質點與一質量為${\displaystyle M}$的均勻球體的距離為${\displaystyle r}$時，質點所受的重力大小為：

${\displaystyle F=G{Mm \over r^{2}}}$

其中${\displaystyle G}$為重力常數。根據牛頓第二定律

${\displaystyle F=ma_{\text{g}}}$

可得重力加速度為

${\displaystyle a_{\text{g}}=G{M \over r^{2}}}$，與質量${\displaystyle m}$無關。

地球表面的重力加速度

${\displaystyle g}$的單位是加速度的單位，而不是力的單位。在地球表面附近，一質點的自由落體加速度${\displaystyle g}$與它的重力加速度${\displaystyle a}$稍微不同，一個質點的重量${\displaystyle mg}$與它所受的重力（地球萬有引力）也不同，原因是地球會自轉。若考慮地球自轉，則：

${\displaystyle mg=ma-mR\omega ^{2}}$

其中${\displaystyle mg}$為測量到的重量、${\displaystyle ma}$為重力的大小、${\displaystyle m}$為質量、${\displaystyle R\omega ^{2}}$為向心加速度

可以得到：

${\displaystyle g=a-R\omega ^{2}}$

其中，${\displaystyle g}$為自由落體加速度、${\displaystyle a}$為重力加速度、${\displaystyle R\omega ^{2}}$為向心加速度

注意以上式子中的減法為向量相減。自由落體加速度${\displaystyle g}$實際上是小於重力加速度${\displaystyle a}$的，方向也略有區別，在赤道上則相差最多，但由於地球的半徑與自轉週期的關係，兩者大約只相差0.034m/s²，因此在日常使用的計算上，重量與重力之間的差異通常可以忽略，但若做為精密飛行器的計算，則需要考慮進去。

地表附近的所有物體下降的加速度都介於9.78 m/s²和9.83 m/s²之間，差別是取決於緯度等因素（赤道最少，南北極最大），標準重力加速度是9.80665 m/s²（為方便計算，一般使用9.81 m/s²、9.8 m/s²或10 m/s²）。

近似公式

根據地球參考橢球，可以導出在地理緯度${\displaystyle \varphi }$ 海拔高度${\displaystyle h}$的重力加速度近似值：^[1]

${\displaystyle g\ \approx \ g_{0}\ (1+0.0052884\sin ^{2}\varphi -0.0000059\sin ^{2}2\varphi )-0.000003086h}$

其中 ${\displaystyle g_{0}\approx 9.78046}$ m/s² 為赤道海平面上的重力加速度。

有的書會給出稍微不同的表達式： ^[2][3]

${\displaystyle g(h=0)\ \approx \ 9.780318\ (1+5.3024\!\times \!10^{-3}\sin ^{2}\varphi -5.9\!\times \!10^{-6}\sin ^{2}2\varphi )}$ m/s²

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g(h=0)}{\mathrm {d} h}}\approx -3.0877\!\times \!10^{-6}(1-1.39\times \!10^{-3}\sin ^{2}\varphi )}$ m/(s² /m)

其中${\displaystyle h=0}$表示在海平面上。對重力精度要求不高時，可以採用下式計算不同高度的重力：

${\displaystyle g(h)=g(h=0)/(1+h/R_{0})^{2}}$

其中${\displaystyle R_{0}\approx 6371\operatorname {km} }$是地球的平均半徑。

參見

• 地球引力
• 牛頓運動定律
• 空氣阻力
• 標準重力
• 重力火車

參考資料

引用

1. 慣性導航原理，陳永冰等，國防工業出版社. ISBN 978-7-118-05399-9. P20
2. 捷聯慣性導航技術（第二版），張天光等譯，國防工業出版社。ISBN 978-7-118-05336-4. P39
3. STEILER, B., and WINTER, H.:'AGARD flight test instrumentation volume 15 on gyroscopic instruments and their application to flight testing'. AGARD-AG-160-VOL. 15, September 1982

來源

• Fundamentals of Physics 8/E Extended ISBN 9780470046180
• 物理學基礎ISBN 7-111-15715-X(課) page323