HOMFLY多項式

在紐結理論中，HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的紐結多項式；透過變元代換，它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。

「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Przytycki 與 Traczyk。

拆接關係

HOMFLY多項式 ${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P(K)}$ 由下述拆接關係唯一地定義：

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

其中unknot是平凡紐結； ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ 代表結圖表在某個交點附近的性狀，如次圖所示：

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式，亦可導出

${\displaystyle P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})}$

其它拆接關係

透過適當的變元代換，上節的拆接關係可換為

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})}$

或者

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0}$

主要性質

與瓊斯多項式的關係：

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}$

與亞歷山大多項式的關係：

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}$

對鏡像與連通和的關係：

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)}$

陳-西蒙斯理論

SU(N)規範群的三維陳-西蒙斯理論給予HOMFLY多項式。^[1]

參考文獻

1. Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 （英語）.

相關文獻

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4