離散餘弦轉換（英語：discrete cosine transform, DCT）是與傅立葉轉換相關的一種轉換，類似於離散傅立葉轉換，但是只使用實數。離散餘弦轉換相當於一個長度大概是它兩倍的離散傅立葉轉換，這個離散傅立葉轉換是對一個實偶函數進行的（因為一個實偶函數的傅立葉轉換仍然是一個實偶函數），在有些變形裏面需要將輸入或者輸出的位置移動半個單位（DCT有8種標準類型，其中4種是常見的）。
2d DCT（type II） 與離散傅立葉轉換的比較.
最常用的一種離散餘弦轉換的類型是下面給出的第二種類型，通常我們所說的離散餘弦轉換指的就是這種。它的逆，也就是下面給出的第三種類型，通常相應的被稱為「反離散餘弦轉換」，「逆離散餘弦轉換」或者「IDCT」。
有兩個相關的轉換，一個是離散正弦轉換，它相當於一個長度大概是它兩倍的實奇函數的離散傅立葉轉換；另一個是改進的離散餘弦轉換，它相當於對交疊的數據進行離散餘弦轉換。
離散餘弦轉換，尤其是它的第二種類型，經常被信號處理和圖像處理使用，用於對信號和圖像進行有損數據壓縮。這是由於離散餘弦轉換具有很強的「能量集中」特性：大多數的信號資訊（包括聲音和圖像）往往集中在離散餘弦轉換後的低頻部分，而且當信號具有接近馬可夫過程的統計特性時，離散餘弦轉換的去相關性接近於K-L轉換（Karhunen-Loève轉換——它具有最優的去相關性）的性能。
例如，在圖像編碼標準JPEG與視訊編碼標準MJPEG和MPEG的各個標準中都使用了離散餘弦轉換。在這些標準制中都使用了二維的第二種類型離散餘弦轉換，並將結果進行量化之後進行熵編碼。這時對應第二種類型離散餘弦轉換中的n通常是8，並用該公式對每個8x8塊的每行進行轉換，然後每列進行轉換。得到的是一個8x8的轉換系數矩陣。其中（0,0）位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據其位置表示不同頻率的交流分量。
一個類似的轉換，改進的離散餘弦轉換被用在高級音頻編碼、Vorbis和MP3音頻壓縮當中。
離散餘弦轉換也經常被用來使用譜方法來解偏微分方程，這時候離散餘弦轉換的不同的變量對應着數組兩端不同的奇/偶邊界條件。
上面提到的DCT I~IV是和偶數階的實偶DFT對應的。原則上，還有四種DCT轉換（Martucci, 1994）是和奇數階的實偶DFT對應的，它們在分母中都有一個
的系數。但是在實際應用中，這幾種變型很少被用到。
最平凡的和奇數階的實偶DFT對應的DCT是1階的DCT（1也是奇數），可以說轉換只是乘上一個系數
而已，對應於DCT-V的長度為1的狀況。
儘管直接使用公式進行轉換需要進行
次操作，但是和快速傅立葉轉換類似，我們有複雜度為
的快速算法，這就是常常被稱做蝶形轉換的一種分解算法。另外一種方法是通過快速傅立葉轉換來計算DCT，這時候需要
的預操作和後操作。
以下簡單介紹兩種利用DFT來計算DCT-II的方法
令輸入信號為
並將
以
在
處對稱表示
即
此時令
表示 
則之DFT為
將
做以下化簡
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(m)&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}y(n)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{(2N-n-1)m}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)[W_{2N}^{nm}+W_{2N}^{-(n+1)m}],\,\,\,\,m=0,1,...,2N-1\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abda1508abd8131cfdf0ead339d2e8ccb25e76d3)
此時兩側同乘 
可得![{\displaystyle {\frac {1}{2}}W_{2N}^{m/2}Y(m)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\cos {[(2n+1){\frac {m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aaceb18610aa434da0e81a9222b764ab548eb3)
此時右式即為欲求之DCT轉換，而左式可藉由2N點數的DFT來計算，使用快速演算法的情況下，運算之時間複雜度為
第二個方法由Narasimha與Peterson在1978年提出，此方法係藉由巧妙的編排來達成，首先令
並且 
此時X(m)可化簡為
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N/2-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]}+\sum _{n=0}^{N/2-1}y(N-n-1)\cos {[{\frac {(4n+3)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd2a870d9a890cddc9afead1f3520404065b23)
令第二項之
改為 
，則兩式可合併為
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5000b8dd3f9f5a87e007bac41825f1c7039f8629)
右側為對之N點的scaled DFT
因此，![{\displaystyle X(m)=Re[Z(m)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6eb2d460dd9505c88b7b75fd6542191a7f8b3c)
，其中
其中 是對之N點的DFT，並且可以簡單的驗證
具有如下性質
而因 為實數輸入，
因此欲求之 ，![{\displaystyle X(N-m)=-Im[Z(m)],\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,{\frac {N}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fcda8f8432607bad5d2bf84ada4050a63f78f7)
在使用FFT快速演算法的情況下，運算之時間複雜度同樣為
但此方法較方法一直接運算2N點數的DFT快上約2倍。
- K. R. Rao and P. Yip, 離散餘弦轉換：算法、優點和應用（Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications） (Academic Press, Boston, 1990).
- A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, 時間離散信號處理 (Discrete-Time Signal Processing), second edition (Prentice-Hall, New Jersey, 1999).
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- Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. 一個免費的C語言庫GPL，可以計算DCT-I~IV的1維到多維的任意大小的轉換
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Rao, R. K., & Yip, P. (1990). Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications (1st ed.). Academic Press.
![{\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{m}x_{n-1})+\sum _{k=1}^{n-2}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n-1}}mk\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adba25d70ecec4b6462895cf799fc13e56176b3)
![{\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}m\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ebd9c1833db5ff969647c08e457e6610c64ea5)
![{\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2}}x_{0}+\sum _{k=1}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}\left(m+{\frac {1}{2}}\right)k\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76638588e1147b8fc711540c774cd1bb4e78c17)
![{\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b77d88880a3542cd2ccbe9d7ca5fe7714edc82a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(m)&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}y(n)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{(2N-n-1)m}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)[W_{2N}^{nm}+W_{2N}^{-(n+1)m}],\,\,\,\,m=0,1,...,2N-1\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abda1508abd8131cfdf0ead339d2e8ccb25e76d3)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}W_{2N}^{m/2}Y(m)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\cos {[(2n+1){\frac {m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aaceb18610aa434da0e81a9222b764ab548eb3)
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N/2-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]}+\sum _{n=0}^{N/2-1}y(N-n-1)\cos {[{\frac {(4n+3)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd2a870d9a890cddc9afead1f3520404065b23)
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5000b8dd3f9f5a87e007bac41825f1c7039f8629)
![{\displaystyle X(m)=Re[Z(m)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6eb2d460dd9505c88b7b75fd6542191a7f8b3c)
![{\displaystyle X(N-m)=-Im[Z(m)],\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,{\frac {N}{2}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fcda8f8432607bad5d2bf84ada4050a63f78f7)
