在數學裏,偶函數(英語:Even functions)和奇函數(英語:Odd functions)是滿足著相對於加法反元素之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要,特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裏。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件:若n為一偶數,則函數是偶函數,若為一奇數,則為奇函數。
偶函數
設f(x)為一實變量實值函數,則為偶函數若下列的方程對所有在的定義域內的都成立:[1]
幾何上,一個偶函數會關於y軸對稱,亦即其圖像在對y軸為軸對稱後不會改變。
奇函數
再次地,設為一個實變量實值函數,則為奇函數若下列的方程對所有在f的定義域內的都成立:[2]
- 或
基本特性
注意:一個函數為奇函數或偶函數不表示其為可微的,或即使為連續的。其包含在傅立葉級數、泰勒級數、導數等之性質都只在假設其存在時才被使用。
- 唯一一個同時為奇函數及偶函數的函數為其值為0的常數函數(即對所有,)。
- 通常,一個偶函數和一個奇函數的相加不會是奇函數也不會是偶函數;如。
- 兩個偶函數的相加為偶函數,且一個偶函數的任意常數倍亦為偶函數。(偶+偶=偶 n×偶=偶)
- 兩個奇函數的相加為奇函數,且一個奇函數的任意常數倍亦為奇函數。(奇+奇=奇 n×奇=奇)
- 兩個偶函數的乘積為一個偶函數。(偶×偶=偶)
- 兩個奇函數的乘積為一個偶函數。(奇×奇=偶)
- 一個偶函數和一個奇函數的乘積為一個奇函數。(偶×奇=奇)
- 兩個偶函數的商(除數不得為0)為一個偶函數。(偶÷偶=偶)
- 兩個奇函數的商(除數不得為0)為一個偶函數。(奇÷奇=偶)
- 一個偶函數和一個奇函數的商(除數不得為0)為一個奇函數。(偶÷奇=奇 奇÷偶=奇)
- 一個偶函數的導數為一個奇函數。(偶'=奇)
- 一個奇函數的導數為一個偶函數。(奇'=偶)
- 兩個奇函數的複合為一個奇函數,而兩個偶函數的複合為一個偶函數。[奇(奇)=奇 偶(偶)=偶]
- 一個偶函數和一個奇函數的複合為一個偶函數。[偶(奇)=偶 奇(偶)=偶]
- 偶函數的任何線性組合皆為偶函數,且偶函數會形成一個實數上的向量空間。相似地,奇函數的任何線性組合皆為奇函數,且奇函數亦會形成一個實數上的向量空間。實際上,「所有」實值函數之向量空間為偶函數和奇函數之子空間的直和。換句話說,每個定義域關於原點對稱的函數都可以被唯一地寫成一個偶函數和一個奇函數的相加:
- 偶函數會形成一個實數上的可交換代數,但奇函數則不會形成任何一個在實數上的代數。
在信號處理裏,諧波失真會產生於當一個正弦波信號被一非線性遞移函數放大的時候。其諧波的類型會因遞移函數的不同而不同:[3][4]
參考文獻
參見
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