誤差函數

在數學中，誤差函數^{[註 1]}（英語：Error function）是一個特殊函數^{[註 2]}，符號${\displaystyle \operatorname {erf} }$。誤差函數在概率論，統計學以及偏微分方程中都有廣泛的應用。它的定義如下：^[1][2]

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$

誤差函數

互補誤差函數

分類

互補誤差函數，記為 erfc，在誤差函數的基礎上定義：

${\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\,.}$

虛誤差函數，記為 erfi，定義為：

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z).}$

複誤差函數，記為w(z)，也在誤差函數的基礎上定義：

${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}{\textrm {erfc}}(-iz).}$

詞源

誤差函數來自測度論，後來與測量誤差無關的其他領域也用到這一函數，但仍然使用誤差函數這一名字。

誤差函數與標準正態分佈的積分累積分佈函數${\displaystyle \Phi }$的關係為^[2]

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

性質

複數平面上的圖

Integrand exp(−z²)

erf(z)

誤差函數是奇函數：

${\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}$

對於任何 複數 z:

${\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}$

其中 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 表示 z的 複共軛。

複數平面上，函數 ƒ = exp(−z²) 和 ƒ = erf(z) 如圖所示。粗綠線表示 Im(ƒ) = 0，粗紅線表示 Im(ƒ) < 0， 粗藍線為 Im(ƒ) > 0。細綠線表示 Im(ƒ) = constant，細紅線表示 Re(ƒ) = constant<0，細藍線表示 Re(ƒ) = constant>0。

在實軸上， z → ∞時，erf(z) 趨於1，z → −∞時，erf(z) 趨於−1 。在虛軸上， erf(z) 趨於 ±i∞。

泰勒級數

誤差函數是整函數，沒有奇異點（無窮遠處除外），泰勒展開收斂。

誤差函數泰勒級數：

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

對每個複數 z均成立。 上式可以用迭代形式表示：

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}$

誤差函數的導數：

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.}$

誤差函數的 不定積分為：

${\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

逆函數

逆誤差函數

逆誤差函數 可由 麥克勞林級數表示：

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!}$

其中， c₀ = 1 ，

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},\ldots \right\}.}$

即：

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).\ }$

逆互補誤差函數定義為：

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$

漸近展開

互補誤差函數的漸近展開，

${\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,}$

其中 (2n – 1)!! 為 雙階乘，x為實數，該級數對有限 x發散。對於${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，有

${\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)\,}$

其中餘項用以 大O符號表示為

${\displaystyle R_{N}(x)=O(x^{-2N+1}e^{-x^{2}})}$ as ${\displaystyle x\to \infty }$.

餘項的精確形式為：

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{-2N+1}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,}$

對於比較大的 x, 只需漸近展開中開始的幾項就可以得到 erfc(x)很好的近似值。^{[註 3]}

連分式展開

互補誤差函數的連分式展開形式：^[3]

${\displaystyle \mathrm {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{z^{2}+{\cfrac {a_{4}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{1}=1,\quad a_{m}={\frac {m-1}{2}},\quad m\geq 2.}$

初等函數近似表達式

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4})^{4}}}}$    (最大誤差： 5·10⁻⁴)

其中， a₁ = 0.278393, a₂ = 0.230389, a₃ = 0.000972, a₄ = 0.078108

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$    (最大誤差：2.5·10⁻⁵)

其中， p = 0.47047, a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6})^{16}}}}$    (最大誤差： 3·10⁻⁷)

其中， a₁ = 0.0705230784, a₂ = 0.0422820123, a₃ = 0.0092705272, a₄ = 0.0001520143, a₅ = 0.0002765672, a₆ = 0.0000430638

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$    (最大誤差： 1.5·10⁻⁷)

其中， p = 0.3275911, a₁ = 0.254829592, a₂ = −0.284496736, a₃ = 1.421413741, a₄ = −1.453152027, a₅ = 1.061405429

以上所有近似式適用範圍是： x ≥ 0. 對於負的 x, 誤差函數是奇函數這一性質得到誤差函數的值， erf(x) = −erf(−x).

另有近似式：

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$

其中，

${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$

該近似式在0或無窮的鄰域非常準確，x整個定義域上，近似式最大誤差小於0.00035，取 a ≈ 0.147 ，最大誤差可減小到0.00012。^[4]

逆誤差函數近似式:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln(1-x^{2})}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)}}.}$

數值近似

下式在整個定義域上，最大誤差可低至 ${\displaystyle 1.2\cdot 10^{-7}}$：^[5]

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\begin{cases}1-\tau &\mathrm {for\;} x\geq 0\\\tau -1&\mathrm {for\;} x<0\end{cases}}}$

其中，

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\tau &=&t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368\cdot t+0.37409196\cdot t^{2}+0.09678418\cdot t^{3}\right.\\&&\qquad -0.18628806\cdot t^{4}+0.27886807\cdot t^{5}-1.13520398\cdot t^{6}+1.48851587\cdot t^{7}\\&&\qquad \left.-0.82215223\cdot t^{8}+0.17087277\cdot t^{9}\right)\end{array}}}$

${\displaystyle t={\frac {1}{1+0.5\,|x|}}}$

與其他函數的關係

誤差函數本質上與標準正態累積分佈函數${\displaystyle \Phi }$是等價的，

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$

可整理為如下形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Phi }$的逆函數為正態分位函數，即概率單位（英語：Probit）函數，

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

誤差函數為標準正態分佈的尾概率Q函數（英語：Q-function）的關係為，

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

誤差函數是米塔-列夫勒函數的特例，可以表示為合流超幾何函數，

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

誤差函數用正則Γ函數P和 不完全Γ函數表示為

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=\operatorname {sgn} (x)P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sgn} (x) \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).}$

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sgn} (x)\ }$ 為 符號函數.

廣義誤差函數

廣義誤差函數圖像 E_n(x):
灰線: E₁(x) = (1 − e ^−x)/${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}$
紅線: E₂(x) = erf(x)
綠線: E₃(x)
藍線: E₄(x)
金線: E₅(x).

廣義誤差函數為：

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}$

其中，E₀(x)為通過原點的直線， ${\displaystyle \scriptstyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}$。E₂(x) 即為誤差函數 erf(x)。

x > 0時，廣義誤差函數可以用Γ函數和 不完全Γ函數表示，

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0.\ }$

因此，誤差函數可以用不完全Γ函數表示為：

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\ }$

互補誤差函數的迭代積分

互補誤差函數的迭代積分定義為：

${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta .\,}$

可以展開成冪級數：

${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,}$

滿足如下對稱性質：

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

和

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.}$

函數表

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x) 0.00 0.0000000 1.0000000 1.30 0.9340079 0.0659921 0.05 0.0563720 0.9436280 1.40 0.9522851 0.0477149 0.10 0.1124629 0.8875371 1.50 0.9661051 0.0338949 0.15 0.1679960 0.8320040 1.60 0.9763484 0.0236516 0.20 0.2227026 0.7772974 1.70 0.9837905 0.0162095 0.25 0.2763264 0.7236736 1.80 0.9890905 0.0109095 0.30 0.3286268 0.6713732 1.90 0.9927904 0.0072096 0.35 0.3793821 0.6206179 2.00 0.9953223 0.0046777 0.40 0.4283924 0.5716076 2.10 0.9970205 0.0029795 0.45 0.4754817 0.5245183 2.20 0.9981372 0.0018628 0.50 0.5204999 0.4795001 2.30 0.9988568 0.0011432 0.55 0.5633234 0.4366766 2.40 0.9993115 0.0006885 0.60 0.6038561 0.3961439 2.50 0.9995930 0.0004070 0.65 0.6420293 0.3579707 2.60 0.9997640 0.0002360 0.70 0.6778012 0.3221988 2.70 0.9998657 0.0001343 0.75 0.7111556 0.2888444 2.80 0.9999250 0.0000750 0.80 0.7421010 0.2578990 2.90 0.9999589 0.0000411 0.85 0.7706681 0.2293319 3.00 0.9999779 0.0000221 0.90 0.7969082 0.2030918 3.10 0.9999884 0.0000116 0.95 0.8208908 0.1791092 3.20 0.9999940 0.0000060 1.00 0.8427008 0.1572992 3.30 0.9999969 0.0000031 1.10 0.8802051 0.1197949 3.40 0.9999985 0.0000015 1.20 0.9103140 0.0896860 3.50 0.9999993 0.0000007

x erfc(x)/2 1 7.86496e−2 2 2.33887e−3 3 1.10452e−5 4 7.70863e−9 5 7.6873e−13 6 1.07599e−17 7 2.09191e−23 8 5.61215e−30 9 2.06852e−37 10 1.04424e−45 11 7.20433e−55 12 6.78131e−65 13 8.69779e−76 14 1.51861e−87 15 3.6065e−100 16 1.16424e−113 17 5.10614e−128 18 3.04118e−143 19 2.45886e−159 20 2.69793e−176 21 4.01623e−194 22 8.10953e−213 23 2.22063e−232 24 8.24491e−253 25 4.15009e−274 26 2.8316e−296 27 2.61855e−319

註釋

1. 也稱之為高斯誤差函數
2. 即不是初等函數
3. 對於不太大的 x ，上文泰勒展開在0處可以快速收斂。

參見

• 古德溫 - 斯塔頓積分

參考文獻

1. Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
2. Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
3. Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. 2008. ISBN 978-1-4020-6948-2.
4. Winitzki, Sergei. A handy approximation for the error function and its inverse (PDF). 6 February 2008 [2011-10-03].^{[永久失效連結]}
5. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 978-0-521-43064-7), 1992, page 214, Cambridge University Press.

外部連結

• MathWorld – Erf（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）