數值分析中,龍格-庫塔法(英文:Runge-Kutta methods)是用於非線性常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術由數學家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔於1900年左右發明。
在各種龍格-庫塔法當中有一個方法十分常用,以至於經常被稱為「RK4」或者就是「龍格-庫塔法」。該方法主要是在已知方程導數和初始值時,利用計算機的仿真應用,省去求解微分方程的複雜過程。
令初值問題表述如下。
![{\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55a75501aa500a05bf46cbad9e06cb84c17f16b)
則,對於該問題的RK4由如下方程給出:
![{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6c4ccafc1de85e4638275f5160abaea4889b2a)
其中
![{\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c29c02f9db39c5af84fa1f1fcfa64aa6069b2ad)
![{\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05fe7e25aad6c7a55aafaf97aa86a67f1422d0e)
![{\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d07ecfc6e2c0d19352badb655a1e3f78895fcd)
![{\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b553256b19a3d88fca0c12c76315ed303c1c178)
這樣,下一個值(yn+1)由現在的值(yn)加上時間間隔(h)和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加權平均:
- k1是時間段開始時的斜率;
- k2是時間段中點的斜率,通過歐拉法採用斜率k1來決定y在點tn + h/2的值;
- k3也是中點的斜率,但是這次採用斜率k2決定y值;
- k4是時間段終點的斜率,其y值用k3決定。
當四個斜率取平均時,中點的斜率有更大的權值:
![{\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9fdc82b20f855e216dfab198b6357bdb041dcf)
RK4法是四階方法,也就是說每步的誤差是h5階,而總積累誤差為h4階。
注意上述公式對於純量或者向量函數(y可以是向量)都適用。
顯式龍格-庫塔法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出
![{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fa47cf3289c5ab2067fe46f748f33d4b6be48c)
其中
![{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c143e6ae2fbe576e8b27f7cd458caffdd0622a)
![{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1c3da55cc8b7b04a6fb47e29b5c9d3a3a5833b)
![{\displaystyle \vdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf1f9cd4215ea890939a606a057eb910ed3c2cc)
(注意:上述方程在不同著述中有不同但等價的定義)。
要給定一個特定的方法,必須提供整數s(級數),以及係數 aij(對於1 ≤ j < i ≤ s), bi(對於i = 1, 2, ..., s)和ci(對於i = 2, 3, ..., s)。這些數據通常排列在一個助記工具中,稱為Butcher tableau(得名自約翰·C·布徹):
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0
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![{\displaystyle c_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2) |
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![{\displaystyle c_{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dc52bfbaf6e577fbed72a716068f4533700bd3) |
![{\displaystyle a_{31}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c322ba2770ed3e56043ffd0247fb8b9d3aa63aa) |
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![{\displaystyle \vdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083) |
![{\displaystyle \vdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083) |
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![{\displaystyle a_{s,s-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1451b9dadcfd3c13dba27a753bb22a49aea92ab6) |
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![{\displaystyle b_{1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2720c91be489f57ecde4bb651b95e113d0144) |
![{\displaystyle b_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2530a260ad35bf21ee61f1f4d6493ae0474f6068) |
![{\displaystyle \cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
![{\displaystyle b_{s-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55357ce095ff03cd534e917301834e3b603d2f0) |
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龍格-庫塔法是自洽的,如果
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c203d55a6bc408f876971cfacd5feadee5e792c)
如果要求方法的精度為p階,即截斷誤差為O(hp+1)的,則還有相應的條件。這些可以從截斷誤差本身的定義中導出。例如,一個2級2階方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。
RK4法處於這個框架之內。其表為:
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0
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1/2 |
1/2
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1/2 |
0 |
1/2
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1 |
0
|
0 |
1
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1/6 |
1/3 |
1/3 |
1/6
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然而,最簡單的龍格-庫塔法是(更早發現的)歐拉方法,其公式為
。這是唯一自洽的一級顯式龍格-庫塔法。相應的表為:
以上提及的顯式龍格-庫塔法一般來講不適用於求解剛性方程。這是因為顯式龍格-庫塔法的穩定區域被局限在一個特定的區域裏。顯式龍格-庫塔法的這種缺陷使得人們開始研究隱式龍格-庫塔法,一般而言,隱式龍格-庫塔法具有以下形式:
![{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fa47cf3289c5ab2067fe46f748f33d4b6be48c)
其中
![{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9c8d6ca5174aca1c79de8e9ef427a16785cf7b)
在顯式龍格-庫塔法的框架里,定義參數
的矩陣是一個下三角矩陣,而隱式龍格-庫塔法並沒有這個性質,這是兩個方法最直觀的區別:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073f970cca759dbf28b4bf35d4bdb72414977c00)
需要注意的是,與顯式龍格-庫塔法不同,隱式龍格-庫塔法在每一步的計算里需要求解一個線性方程組,這相應的增加了計算的成本。
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
- Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)