剛性方程

在數學領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一個微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精確地去定義哪些微分方程是剛性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。

在積分微分方程時，若某一區域的解曲線（英語：Integral curve）的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題，就算曲線近似直線，仍然需要用非常小的積分間隔來積分，這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題，一個有「剛性」，另一個沒有，但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以稱為是剛性系統。

範例

在求解一個剛性常微分方程時，用顯式方法出現的不穩定情形

考慮下面的初值問題：

${\displaystyle \,y'(t)=-15y(t),\quad t\geq 0,\,y(0)=1}$

其精確解是

${\displaystyle y(t)=e^{-15t}}$，並且顯然當${\displaystyle t\to \infty }$時${\displaystyle y(t)\to 0}$。

會希望數值解能夠具有相同的特性。

若以歐拉方法來求數值解，則使用不同的步長（step size）將會得到不同的結果。第一種，步長${\displaystyle h=1/4}$的歐拉法強烈的震盪並且很快離開了圖的邊界。當將步長減半為${\displaystyle h=1/8}$時，得到的結果在圖的範圍以內。但是它依然在0附近震盪，並且不可能表示精確的解。

而梯形法，即兩階段亞丹士-莫耳吞法（英語：Linear multistep method），表達為

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{1 \over 2}h\left(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).}$

其求得的結果比歐拉法的結果要好很多。如上圖所示，數值結果單調地減少到零，如同精確解一樣。

特徵

剛性系統的特色是該系統所有特徵值的實部均為負數，並且其中特徵值實部絕對值中，最大和最小的比值遠大於1。

龍格－庫塔法

主條目：龍格－庫塔法

將龍格－庫塔法應用至測試方程${\displaystyle y'=k\cdot y}$，可以得到如${\displaystyle y_{n+1}=\phi (hk)\cdot y_{n}}$的形式，並可歸納出${\displaystyle y_{n}=(\phi (hk))^{n}\cdot y_{0}}$，其中${\displaystyle \phi }$稱為穩定性函數。因此${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=0}$的條件等價於${\displaystyle |\phi (hk)|<1}$。這啟發了絕對穩定區域（有時簡稱為穩定區域）的定義，亦即集合${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,|\phi (z)|<1\}}$。

若一個方法的穩定區域包含${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,\mathrm {Re} (z)<0\}}$（即左半平面），則稱該方法為A-穩定（英語：A-stability）。

例子: 歐拉與梯度法

粉紅色的圓形區域為歐拉方法的穩定區域。

粉紅色的區域為梯形法的穩定區域。

參見

• 顯式法及隱式法
• 條件數
• 微分包含式

參考資料

• Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532.
• Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969.
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5.
• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7.
• Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026.

外部連結

• An Introduction to Physically Based Modeling: Energy Functions and Stiffness（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）