餘割

餘割（Cosecant，${\displaystyle \csc }$）是三角函數的一種。它的定義域不是${\displaystyle k\pi }$（或180°k，其中${\displaystyle k}$為整數）的整個實數集，值域是絕對值大於等於一的實數。它是周期函數，其最小正周期為${\displaystyle 2\pi }$（360°）。

餘割
性質
奇偶性	奇
定義域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
到達域	${\displaystyle \left|\csc x\right|\geq 1}$
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
當x=0	∞
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	${\displaystyle x=k\pi }$ （x=180°k）
根	無實根
臨界點	${\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}$ （180°k-90°）
不動點	當x軸為弧度時： ±1.11415714087193... （±63.8365018863243...°） ±2.77260470826599... （±158.858548041742...°） ±6.4391172384172... （±368.934241551242...°） ... 當x軸為角度時： ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ...
k是一個整數。

餘割是三角函數的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在${\displaystyle 2k\pi }$（360°k）到${\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}}$（360°k+90°）的區間之間，函數是遞減的，另外餘割函數和正弦函數互為倒數。

在單位圓上，餘割函數位於割線上，因此將此函數命名為餘割函數。

和其他三角函數一樣，餘割函數一樣可以擴展到複數。

符號史

餘割的符號為${\displaystyle \csc }$，取自英文cosecant，其又源於拉丁文的cosecans及secans complementi。

定義

直角三角形中

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$為直角，${\displaystyle \angle A}$的角度為 ${\displaystyle \theta }$， 對於${\displaystyle \angle A}$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角${\displaystyle \angle A}$的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}$

其定義與正弦函數互為倒數。

直角坐標系中

設${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐標系xOy中的一個象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的終邊上一點，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原點O的距離，則${\displaystyle \alpha }$的餘割定義為：

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}$

單位圓定義

單位圓

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角${\displaystyle \theta }$，並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於${\displaystyle \sin \theta }$。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}$。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小於${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，餘割變成了周期為${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函數：

${\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$

對於任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整數${\displaystyle k}$。

與其他函數定義

餘割函數和正弦函數互為倒數

即：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$

級數定義

餘割也能使用泰勒級數來定義：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}$

其中${\displaystyle B_{2n}}$為伯努利數。

另外，我們也有

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{-n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}.}$

微分方程定義

${\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}$

指數定義

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

恆等式

和差角公式

${\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}}$

參見

• 數學主題

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 正割
• 三角學
• 三角函數
• 函數
• 正弦波