鏈 (代數拓撲)

在代數拓撲學中，一個q維鏈（q-chain)是一個複形K全體定向q單純形所生成的自由阿貝爾群（英語：free abelian group）C_q(K)中的元素。^[1]

定義

對於一個單純形K，K的q維鏈群C_q(K)是由一個複形K的全體定向q單純形所生成的自由阿貝爾群（英語：free abelian group），即${\displaystyle C_{q}(K)=\{\sum _{i=1}^{s}\lambda _{i}\sigma _{i}:\lambda _{i}\in \mathbb {Z} \}}$，其中${\displaystyle \sigma _{i}}$是K的定向q單純形，其中，若${\displaystyle \sigma }$和${\displaystyle \tau }$是兩個同樣的單形，但如果定向相反，那麼${\displaystyle \sigma +\tau =0}$. 一個複形K上的q維鏈是${\displaystyle C_{q}(K)}$中的元素。習慣上，常把鏈看作定向單形的線性組合，即${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{\alpha _{q}}\lambda _{i}\sigma _{i}}$，並稱${\displaystyle \lambda _{i}}$為c的係數。^[2]

鏈上的積分

在鏈上定義的積分是對鏈上的單純形取積分的線性組合（帶有整數係數）。包含所有k鏈的集合構成一個群，這些群的序列稱為鏈複形。

參考

1. 阿姆斯特朗, 馬克. 基础拓扑学. 北京: 人民郵電出版社. 2019: 149. ISBN 978-7-115-51891-0.
2. 尤承業. 基础拓扑学讲义. 北京大學出版社. 1997: 182.