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在實分析中,達布定理(英語:Darboux's theorem)得名於讓·加斯東·達布。達布定理說明所有的實導函數(某個實值函數的導數)都具有介值性質:實導函數對任意區間的值域仍是區間。即是說,若f為可導函數,則對任意區間I,f′(I) 仍為區間。
當函數 f 是一階連續可導函數(C1)時,由介值定理,達布定理顯然成立。當導函數 f′ 不連續時,達布定理說明 f′ 仍具有介值性質。
19世紀時,大部分數學家認為介值定理已經可以刻畫出連續函數。但在1875年,讓·加斯東·達布證明這個想法是錯誤的,因為連續函數的導函數仍然具有介值性質,但不一定是連續函數。一個很常用的反例是函數:
其導數在處並不連續。
設為閉區間上的實值可導函數,那麼對介於和之間的任意,存在屬於使得。
不失一般性,我們可假設。又設,則 。只需找到在上的一個零點即可。
由於是上的連續函數,由極值定理,在上達到極大值。由於,極大值不在處取到。同理,由於,極大值也不在b處取到。設為取到極大值的點,這時,。於是定理得證。
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