貝氏網路

貝氏網路（Bayesian network），又稱信念網絡（belief network）或是有向無環圖模型（directed acyclic graphical model），是一種概率圖型模型，藉由有向無環圖（directed acyclic graphs, or DAGs）中得知一組隨機變量${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},...,X_{n}\right\}}$及其n組條件概率分配（conditional probability distributions, or CPDs）的性質。舉例而言，貝氏網路可用來表示疾病和其相關症狀間的概率關係；倘若已知某種症狀下，貝氏網路就可用來計算各種可能罹患疾病之發生概率。

一個簡單的貝氏網路。雨水影響灑水器是否有動作，且雨水及灑水器二者均可影響草是否濕潤.

一般而言，貝氏網路的有向無環圖中的節點表示隨機變量，它們可以是可觀察到的變數，抑或是潛在變量、未知參數等。連接兩個節點的箭頭代表此兩個隨機變量是具有因果關係或是非條件獨立的；而兩個節點間若沒有箭頭相互連接一起的情況就稱其隨機變量彼此間為條件獨立。若兩個節點間以一個單箭頭連接在一起，表示其中一個節點是「因（parents）」，另一個是「果（descendants or children）」，兩節點就會產生一個條件概率值。比方說，我們以${\displaystyle X_{i}}$表示第i個節點，而${\displaystyle X_{i}}$的「因」以${\displaystyle P_{i}}$表示，${\displaystyle X_{i}}$的「果」以${\displaystyle C_{i}}$表示；圖一就是一種典型的貝氏網路結構圖，依照先前的定義，我們就可以輕易的從圖一可以得知：

${\displaystyle P_{2}=\left\{X_{4},X_{5}\right\},C_{2}=\emptyset ,P_{4}=\emptyset ,C_{4}=\left\{X_{2},X_{5}\right\},P_{5}=\left\{X_{4}\right\}}$，以及${\displaystyle C_{5}=\left\{X_{2}\right\}}$

大部分的情況下，貝氏網路適用在節點的性質是屬於離散型的情況下，且依照${\displaystyle P(X_{i}|P_{i})}$此條件概率寫出條件概率表（英語：conditional probability table），此條件概率表的每一列（row）列出所有可能發生的${\displaystyle P_{i}}$，每一行（column）列出所有可能發生的${\displaystyle X_{i}}$，且任一列的概率總和必為1。寫出條件概率表後就很容易將事情給條理化，且輕易地得知此貝氏網路結構圖中各節點間之因果關係；但是條件概率表也有其缺點：若是節點${\displaystyle X_{i}}$是由很多的「因」所造成的「果」，如此條件概率表就會變得在計算上既複雜又使用不便。下圖為圖一貝氏網路中某部分結構圖之條件概率表。

圖一：部分結構圖之條件概率表

數學定義

令 G = (I,E) 表示一個有向無環圖（DAG），其中 I 代表圖中所有的節點的集合，而 E 代表有向連接線段的集合，且令 X = (X_i)_i∈I 為其有向無環圖中的某一節點 i 所代表之隨機變量，若節點 X 的聯合概率分配可以表示成：

${\displaystyle p(x)=\prod _{i\in I}p{\big (}x_{i}\,{\big |}\,x_{\operatorname {pa} (i)}{\big )}}$

則稱 X 為相對於一有向無環圖 G 的貝氏網路，其中${\displaystyle pa(i)}$表示節點 i 之「因」。

對任意的隨機變量，其聯合分配可由各自的局部條件概率分配相乘而得出：

${\displaystyle \mathrm {P} (X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})=\prod _{i=1}^{n}\mathrm {P} (X_{i}=x_{i}\mid X_{i+1}=x_{i+1},\ldots ,X_{n}=x_{n})}$

依照上式，我們可以將一貝氏網路的聯合概率分配寫成：

${\displaystyle \mathrm {P} (X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})=\prod _{i=1}^{n}\mathrm {P} (X_{i}=x_{i}\mid X_{j}=x_{j})}$（對每個相對於X_i的「因」變量 X_j 而言)

上面兩個表示式之差別在於條件概率的部分，在貝氏網路中，若已知其「因」變量下，某些節點會與其「因」變量條件獨立，只有與「因」變量有關的節點才會有條件概率的存在。

如果聯合分配的相依數目很稀少時，使用貝氏函數的方法可以節省相當大的記憶體容量。舉例而言，若想將10個變量其值皆為0或1儲存成一條件概率表型式，一個直觀的想法可知我們總共必須要計算${\displaystyle 2^{10}=1024}$個值；但若這10個變量中無任何變量之相關「因」變量是超過三個以上的話，則貝氏網路的條件概率表最多只需計算${\displaystyle 10*2^{3}=80}$個值即可。另一個貝式網絡優點在於：對人類而言，它更能輕易地得知各變量間是否條件獨立或相依與其局部分配（local distribution）的型態來求得所有隨機變量之聯合分配。

馬可夫毯（Markov blanket）

定義一個節點之馬可夫毯為此節點的因節點、果節點與果節點的因節點所成之集合。一旦給定其馬可夫毯的值後，若網絡內之任一節點X皆會與其他的節點條件獨立的話，就稱X為相對於一有向無環圖G的貝氏網路。

舉例說明

假設有兩個伺服器${\displaystyle (S_{1},S_{2})}$，會傳送封包到用戶端（以U表示之），但是第二個伺服器的封包傳送成功率會與第一個伺服器傳送成功與否有關，因此此貝氏網路的結構圖可以表示成如圖二的型式。就每個封包傳送而言，只有兩種可能值：T（成功）或 F（失敗）。則此貝氏網路之聯合概率分配可以表示成：

${\displaystyle P(U,S_{1},S_{2})=P(U|S_{1},S_{2})\times P(S_{2}|S_{1})\times P(S_{1})}$

圖二：簡單的貝氏網路例子

此模型亦可回答如：「假設已知用戶端成功接受到封包，求第一伺服器成功傳送封包的概率?」諸如此類的問題，而此類型問題皆可用條件概率的方法來算出其所求之發生概率：

${\displaystyle \mathrm {P} ({\mathit {S_{1}}}=T\mid {\mathit {U}}=T)={\frac {\mathrm {P} ({\mathit {S_{1}}}=T,{\mathit {U}}=T)}{\mathrm {P} ({\mathit {U}}=T)}}}$

${\displaystyle ={\frac {\sum _{{\mathit {S_{2}}}\in \{T,F\}}\mathrm {P} ({\mathit {S_{1}}}=T,{\mathit {S_{2}}},{\mathit {U}}=T)}{\sum _{{\mathit {S_{1}}},{\mathit {S_{2}}}\in \{T,F\}}\mathrm {P} ({\mathit {U}}=T,{\mathit {S_{1}}},{\mathit {S_{2}}})}}}$

${\displaystyle ={\frac {(0.4\times 0.3\times 1)_{U=T,S_{1}=T,S_{2}=F}+(0.4\times 0.7\times 1)_{U=T,S_{1}=T,S_{2}=T}}{(0.4\times 0.3\times 1)_{TTF}+(0.4\times 0.7\times 1)_{TTT}+(0.6\times 0.3\times 1)_{FTT}+0_{TFF}}}}$

${\displaystyle \approx 68.96\%}$。

求解方法

以上例子是一個很簡單的貝氏網路模型，但是如果當模型很複雜時，這時使用列舉式的方法來求解概率就會變得非常複雜且難以計算，因此必須使用其他的替代方法。一般來說，貝氏機率有以下幾種求法：

精確推論

• 列舉推理法（如上述例子）
• 變量消元演算法（variable elimination）

隨機推論（蒙地卡羅方法）

• 直接取樣演算法
• 拒絕取樣演算法
• 似然加權演算法
• 馬可夫鏈蒙地卡羅演算法（Markov chain Monte Carlo algorithm）

在此，以馬可夫鏈蒙地卡羅演算法為例，又馬可夫鏈蒙地卡羅演算法的類型很多，故在這裏只說明其中一種吉布斯採樣的操作步驟： 首先將已給定數值的變量固定，然後將未給定數值的其他變量隨意給定一個初始值，接着進入以下迭代步驟：

（1）隨意挑選其中一個未給定數值的變量

（2）從條件分配${\displaystyle P(X_{i}|{\text{Markovblanket}}(X_{i}))}$抽樣出新的${\displaystyle X_{i}}$的值，接着重新計算${\displaystyle P(X_{i}|{\text{Markovblanket}}(X_{i}))=\alpha P(X_{i}|{\text{parents}}(X_{i}))\times \prod _{Y_{i}\in {\text{children}}(X_{i})}{\text{parent}}(Y_{i})}$

當迭代結束後，刪除前面若干筆尚未穩定的數值，就可以求出的近似條件概率分配。馬可夫鏈蒙地卡羅演算法的優點是在計算很大的網絡時效率很好，但缺點是所抽取出的樣本並不具獨立性。

當貝氏網路上的結構跟參數皆已知時，我們可以透過以上方法來求得特定情況的概率，不過，如果當網絡的結構或參數未知時，我們必須藉由所觀測到的資料去推估網絡的結構或參數，一般而言，推估網絡的結構會比推估節點上的參數來的困難。依照對貝氏網路結構的了解和觀測值的完整與否，我們可以分成下列四種情形：

結構	觀測值	方法
已知	完整	最大概似估計法（MLE）
已知	部份	EM演算法 Greedy Hill-climbing method
未知	完整	搜尋整個模型空間
未知	部份	結構演算法 EM演算法 Bound contraction

以下就結構已知的部分，作進一步的說明。

1.結構已知，觀測值完整：

此時我們可以用最大概似估計法（MLE）來求得參數。其對數似然函數為

${\displaystyle L={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{i=1}^{s}\log(P(X_{i}|pa(X_{i}),D_{i}))}$

其中${\displaystyle pa(X_{i})}$代表${\displaystyle X_{i}}$的因變量，${\displaystyle D_{i}}$代表第${\displaystyle {\mathit {1}}}$個觀測值，N代表觀測值資料的總數。

以圖二當例子，我們可以求出節點U的最大概似估計式為

${\displaystyle P(U=u|S_{1}=s_{1},S_{2}=s_{2})={\frac {n(U=u,S_{1}=s_{1},S_{2}=s_{2})}{n(S_{1}=s_{1},S_{2}=s_{2})}}}$

由上式就可以藉由觀測值來估計出節點U的條件分配。如果當模型很複雜時，這時可能就要利用數值分析或其它最佳化技巧來求出參數。

2.結構已知，觀測值不完整（有遺漏資料）：

如果有些節點觀測不到的話，可以使用EM演算法（Expectation-Maximization algorithm）來決定出參數的區域最佳似然估計式。而EM演算法的主要精神在於如果所有節點的值都已知下，在M階段就會很簡單，如同最大概似估計法。而EM演算法的步驟如下：

（1）首先給定欲估計的參數一個起始值，然後利用此起始值和其他的觀測值，求出其他未觀測到節點的條件期望值，接着將所估計出的值視為觀測值，將此完整的觀測值帶入此模型的最大概似估計式中，如下所示（以圖二為例）：

${\displaystyle P(U=u|S_{1}=s_{1},S_{2}=s_{2})={\frac {EN(U=u,S_{1}=s_{1},S_{2}=s_{2})}{EN(S_{1}=s_{1},S_{2}=s_{2})}}}$

其中${\displaystyle EN(x)}$代表在目前的估計參數下，事件x的條件概率期望值為

${\displaystyle EN(x)=E\sum _{k}I(x|D(k))=\sum _{k}P(x|D(k))}$

（2）最大化此最大概似估計式，求出此參數之最有可能值，如此重複步驟（1）與（2），直到參數收斂為止，即可得到最佳的參數估計值。

補充例子（列舉推理法）

讓我們考慮一個應用在醫藥上的概率推論例子，在此病人會被診斷出是否有呼吸困難的症狀。表一代表一個我們所觀測到的資料集合，包含10筆觀測值，S代表的是吸煙與否（Smoker），C代表是否為罹癌者（Cancer），B代表是否罹患支氣管炎（bronchitis），D代表是否有呼吸困難及咳嗽（dyspnea and asthma）的症狀。『1』和『0』分別代表『是』和『否』。此醫藥網絡結構顯示於圖三。

表一

表二代表的是整個網絡的經驗聯合概率分配，是由所收集到的資料所建構而成，利用此表可建構出節點的聯合概率分配。見圖四。此貝氏公式${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A,B)}{P(B)}}}$可利用節點的邊際概率和聯合概率去計算節點的條件概率，待會會應用在建立條件概率表格（Conditional probability Table; CPT）上。見圖五。貝氏網路的聯合概率可由下列式子計算：

${\displaystyle P(S,C,B,D)=P(S)\times P(C|S)\times P(B|S,C)\times P(D|B,C)}$

其值見表三。

使用整個網絡經驗聯合概率分配所計算出來的值會與使用CPT所計算出來的值不同，其差異可由表二和表三得知。其中差異不只是值的不同，也出現了新事件的概率（原本所沒觀察到的事件）。

表二

圖四

圖五

表三

建立在觀測資料上的概率推論演算法：

1.資料集合${\displaystyle D=\left\{d_{1},\ldots ,d_{n}\right\}}$，其中${\displaystyle d_{i}={x_{i}^{(1)},\ldots ,x_{i}^{(N)}}}$（下標代表第幾個觀測值，上標代表第幾個變量），且一共有n個觀測值。每一個觀測值包含${\displaystyle N(N\geq 2)}$個變量${\displaystyle {X_{i}^{(1)},\ldots ,X_{i}^{(N)}}}$，第j個變量有${\displaystyle A^{(j)}={0,1,\ldots ,\alpha ^{(j)}-1}(\alpha ^{(j)}\geq 2)}$狀態。

2.此貝氏網路的結構G代表N個前代（predecessors）節點集合${\displaystyle \left\{\Pi ^{(1)},\ldots ,\Pi ^{(N)}\right\}}$，也就是對第j個節點，${\displaystyle \Pi ^{(j)}}$為其親代節點的集合, j=1,2,…,N

3.範例點（instantiated node）${\displaystyle \left\{X^{P_{1}}=x^{P_{1}},\ldots ,X^{P_{v}}=x^{P_{v}}\right\}}$為節點在已知狀態，即在此狀態的概率為1。如果範例點為空集合，將使用古典概率推論

使用表一的觀測值和圖一的貝氏網路結構，並且已知範例點（instantiated node）為${\displaystyle \left\{S=0,C=0\right\}}$，也就是病人為非吸煙者和罹癌者：${\displaystyle P\left(S=0\right)=1,P\left(C=0\right)=1}$

問題：
1.病人患有支氣管炎的概率${\displaystyle P\left(B\right)=?}$
2.病人會有呼吸困難的概率${\displaystyle P\left(D\right)=?}$

解答：
1. ${\displaystyle P\left(B=0|S=0,C=0\right)=0.8}$

${\displaystyle P\left(B=1|S=0,C=0\right)=0.2}$
故為0.2

2. ${\displaystyle P\left(D=0|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle =P\left(D=0,B=0|S=0,C=0\right)+P\left(D=0,B=1|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle =P\left(D=0|B=0,S=0,C=0\right)\times P\left(B=0|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle +P\left(D=0|B=1,S=0,C=0\right)\times P\left(B=1|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle P\left(D=1|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle =P\left(D=1,B=1|S=0,C=0\right)+P\left(D=1,B=0|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle =P\left(D=1|B=0,S=0,C=0\right)\times P\left(B=0|S=0,C=0\right)}$

${\displaystyle +P\left(D=1|B=1,S=0,C=0\right)\times P\left(B=1|S=0,C=0\right)}$

應用

貝氏網路目前應用在模擬計算生物學與生物資訊科學基因調控網絡（英語：gene regulatory networks）、蛋白質結構、基因表達分析、醫學、文件分類、資訊檢索、決策支援系統、工程學、資料結合（英語：data fusion）、圖像處理等。

參考文獻

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• P. I. Bidyuk, A. N. Terent』ev, and A. S. Gasanov. CONSTRUCTION AND METHODS OF LEARNING OF BAYESIAN NETWORKS. Cybernetics and Systems Analysis, 587-598, Vol. 41, No. 4, 2005

外部連結

• A tutorial on learning with Bayesian Networks
• An Introduction to Bayesian Networks and their Contemporary Applications （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• On-line Tutorial on Bayesian nets and probability （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Web-App to create Bayesian nets and run it with a Monte Carlo method
• Continuous Time Bayesian Networks （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Bayesian Networks: Explanation and Analogy
• A live tutorial on learning Bayesian networks （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• A hierarchical Bayes Model for handling sample heterogeneity in classification problems （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, provides a classification model taking into consideration the uncertainty associated with measuring replicate samples.
• Hierarchical Naive Bayes Model for handling sample uncertainty （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, shows how to perform classification and learning with continuous and discrete variables with replicated measurements.