群子集的乘積

在數學，若S和T為群G的子集，則其乘積為G的子集，其定義為

${\displaystyle ST=\{st:s\in S{\mbox{ and }}t\in T\}}$

其中，S和T不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此，群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。

即使S和T為G的子群，其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下，ST會是個由S和T生成出的群，即ST = TS = <S ∪ T>。若S或T有一是G的正規子群，上述情形便會滿足，ST會是個子群。設S是正規子群，則根據第二同構定理，S ∩ T是T的正規子群且ST/S 同構於 T/(S ∩ T)。

若G為一有限群，且S和T為G的子群，則ST的元素個數可由乘積公式給定：

${\displaystyle |ST|={\frac {|S||T|}{|S\cap T|}}}$

即使S和T都不是正規子群，上述公式也一樣適用。

特別地，如果S和T的交集僅為單位元，那麼ST的每一個元素都可以唯一地表示為乘積st，其中s位於S內，t位於T內。如果 S和T還是可交換的，那麼ST就是一個群，稱為扎帕-塞普乘積。更進一步，如果S或T在ST中正規，那麼ST便稱為半直積。最後，如果S和T都在ST中正規，那麼ST便稱為直積。

引用

• Rotman, Joseph. An Introduction to the Theory of Groups (4th ed.). Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8.

另見

• 直積
• 準直積