同構基本定理

同構基本定理，或稱同態基本定理、同型定理（英語：Isomorphism theorems），包含三個定理，在泛代數領域有廣泛的應用。它們證明了一些自然同構的存在性。

歷史

同構基本定理最早由埃米·諾特（Emmy Noether）在她於1927在德國數學期刊數學分析（Mathematische Annalen）發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明確闡述。

群同構基本定理

群論中的同構基本定理形式相對簡單，卻表達了商群的重要性質。定理的敘述中用到了關於正規子群的等價類概念。

群同構第一定理

給定一個群同態 ${\displaystyle f:G\to G'}$，根據群同態第一基本定理，我們可以把${\displaystyle G}$除以${\displaystyle G}$的核，使${\displaystyle f}$ 變成單射。

直觀來講，把一個群${\displaystyle G}$除以${\displaystyle G}$的子群${\displaystyle H}$相當於把${\displaystyle H}$裏的元素看成0(一元素）。把${\displaystyle f}$的核除掉後，我們使得${\displaystyle f(x)=0}$只在 ${\displaystyle x=0}$時才會成立，這是${\displaystyle f}$的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}$進行討論。

定理： 給定${\displaystyle G}$和${\displaystyle G'}$兩個群，和${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$群同態。則${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$是一個${\displaystyle G}$的正規子群。

證明： 記 ${\displaystyle \cdot }$ 為${\displaystyle G}$和${\displaystyle G'}$的運算符號，記${\displaystyle e}$和${\displaystyle e'}$他們的單位元，我們可以驗證${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 在共軛運算下封閉，即對於所有${\displaystyle x\in G}$、所有${\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}$，有${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}$。

我們有${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}$。由於${\displaystyle h}$在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$裏面，即${\displaystyle f(h)=e'}$，我們推論${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}$。因此，${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}$在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$裏面，故${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$是${\displaystyle G}$的正規子群。

${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$是${\displaystyle G}$的正規子群的這個性質讓我們可以在商群${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$上定義一個與${\displaystyle G}$的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$誘導出群同構${\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}$。

我們有以下的定理：

群同構第一定理 給定${\displaystyle G}$和${\displaystyle G'}$兩個群，${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$群同態，則${\displaystyle f}$誘導出一個從${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$打到${\displaystyle f(G)}$的群同構。

證明： 記${\displaystyle H}$為${\displaystyle f}$的核。我們定義${\displaystyle {\hat {f}}}$為${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}$.

• 函數${\displaystyle {\widehat {f}}}$定義良好，即${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}$只依賴於${\displaystyle xH}$而與代表${\displaystyle x}$的選擇無關。理由是，若${\displaystyle y\in G}$是${\displaystyle xH}$的一個代表，即若${\displaystyle xH=yH}$，則${\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}$，所以${\displaystyle f(x)=f(y)}$，從而${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}$。
• 由商群運算的定義，${\displaystyle {\widehat {f}}}$是一個群同態。
• 群同態${\displaystyle {\widehat {f}}}$滿射：對於所有${\displaystyle y\in f(G)}$，存在${\displaystyle x\in G}$使得${\displaystyle f(x)=y}$，由此${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}$。
• 群同態${\displaystyle {\widehat {f}}}$單射。理由是：考慮${\displaystyle {\widehat {f}}}$的核裏的任意元素${\displaystyle xH}$，則${\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}$，即${\displaystyle x}$在${\displaystyle f}$的核${\displaystyle H}$裏面。又${\displaystyle xH=H}$是${\displaystyle G/H}$的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

交換圖

群同構第二定理

群同構第二定理： 給定群 ${\displaystyle G}$ 、其正規子群 ${\displaystyle N}$ 、其子群 ${\displaystyle H}$ ，則 ${\displaystyle N\cap H}$ 是 ${\displaystyle H}$ 的正規子群，且我們有群同構如下： ${\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}$

證明：

• 必須先證明${\displaystyle HN}$確實是一個群，以及${\displaystyle N}$限定在${\displaystyle HN}$ 中亦是一個正規子群，才能討論商群 ${\displaystyle HN/N}$。

設 ${\displaystyle hn}$ 和 ${\displaystyle h'n'}$ 為 ${\displaystyle HN}$ 中的兩個元素。我們有 ${\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}$ ，其中 ${\displaystyle hh'\in H}$, ${\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}$ (因為 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中正規) 且 ${\displaystyle n'\in N}$，故 ${\displaystyle hnh'n'}$ 在 ${\displaystyle HN}$ 中，其證明了 ${\displaystyle HN}$ 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 ${\displaystyle N\subset HN\subset G}$ 的包含關係，並且 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中正規，所以也在 ${\displaystyle HN}$ 中正規。

• 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 ${\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}$單射群同態，定義為 ${\displaystyle j(h)=h}$ ， 取標準滿射 ${\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}$ (值域是個群，因為 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 ${\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}$ 定義為 ${\displaystyle f(h)=hN}$。

• 群同態 ${\displaystyle f}$ 是滿射。

理由是，設 ${\displaystyle (hn)N\in HN/N}$ ，其中 ${\displaystyle h\in H}$ 且 ${\displaystyle n\in N}$ 。由於 ${\displaystyle n}$ 在 ${\displaystyle N}$ 裏面， ${\displaystyle hnN=hN}$ ，故${\displaystyle hnN=f(h)}$。

• ${\displaystyle f}$ 的核是 ${\displaystyle H\cap N}$ 。

理由是， ${\displaystyle f(h)=hN}$ 是 ${\displaystyle HN/N}$ 的單位元，即 ${\displaystyle N}$ 當且僅當， ${\displaystyle h}$ 在 ${\displaystyle N}$ 裏面。由於 ${\displaystyle h}$ 已經在 ${\displaystyle H}$ 裏面，所以證明這個相當於證明 ${\displaystyle h}$ 在 ${\displaystyle N\cap H}$ 裏面。

• 由群同構第一定理知 ${\displaystyle N\cap H}$ 是 ${\displaystyle H}$ 的正規子群，且其誘導出的映射 ${\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}$ 是群同構。

如果我們弱化前提，假設 ${\displaystyle N}$ 的正規化子包含 ${\displaystyle H}$ (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理

群同構第三定理： 給定群 ${\displaystyle G}$ ， ${\displaystyle N}$ 和 ${\displaystyle M}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的正規子群，滿足 ${\displaystyle M}$ 包含於 ${\displaystyle N}$ ，則 ${\displaystyle N/M}$ 是 ${\displaystyle G/M}$ 的正規子群，且有如下的群同構： ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$

證明： ${\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}$ 為滿射，其核為 ${\displaystyle N/M}$

所以可由群同構第一定理得到 ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$

環和模上的形式

• 將定理中的「群」換為「R-模」，將「正規子群」換為「子模」，就得到對於確定的環R上的模的同構基本定理，（因此同構基本定理對於確定的域上的向量空間也成立）對於向量空間，同構第一基本定理即是秩-零化度定理。
• 將定理中的「群」換為「環」，「子群」換為「子環」，「正規子群」換為「理想」，「商群」換為「商環」就得到環的同構基本定理。
• 與子群的乘積HK相對應的定義是子模，子環，子空間的並，用H + K而不再用HK表示。具體的定義是：

${\displaystyle H+K=\left\{a+b|a\in H,b\in K\right\}}$

推廣

在泛代數中，正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。

設A是一個代數結構，A的一個同餘類是A上的一個等價關係${\displaystyle \Phi }$，可看作是A × A上的子代數。等價類A/${\displaystyle \Phi }$的集合在定義了適合的運算法則後，便可成為與A同類型的代數結構。

第一同構定理

設A和B是兩個代數結構，f是A到B的態射，則A等價關係${\displaystyle \Phi }$：a~b當且僅當f(a)=f(b) 是A上的一個同餘類，並且A/${\displaystyle \Phi }$同構於f的像（B的子代數）。

第二同構定理

設B是A的子代數，${\displaystyle \Phi }$是A上的同餘類。令[B]${\displaystyle \Phi }$是所有包含B種元素的同餘類的集合，它是A/${\displaystyle \Phi }$的一個子集；${\displaystyle \Phi _{B}}$是${\displaystyle \Phi }$限制在 B × B上的部分。那麼[B]${\displaystyle \Phi }$是A/${\displaystyle \Phi }$的子代數結構，${\displaystyle \Phi _{B}}$是B上的同餘類，並且[B]${\displaystyle \Phi }$同構於B/${\displaystyle \Phi _{B}}$。

第三同構定理

設A是一個代數結構，${\displaystyle \Phi }$和${\displaystyle \Psi }$是A上的兩個同餘關係，${\displaystyle \Psi }$包含於${\displaystyle \Phi }$。則${\displaystyle \Phi }$定義了A/${\displaystyle \Psi }$上的一個同餘類${\displaystyle \Theta }$：[a]~[b]當且僅當a與b關於 ${\displaystyle \Phi }$同餘（[a]表示a所在的${\displaystyle \Psi }$-等價類），並且A/${\displaystyle \Phi }$同構於(A/${\displaystyle \Psi }$)/${\displaystyle \Theta }$。