質數階乘質數（又稱素數階乘質數或質數階乘素數）是和某個質數階乘相鄰的質數，即它是某個質數階乘的增一或減一。
- pn的質數階乘記作pn#。
- pn# + 1是質數，對n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（A014545）
前幾個質數階乘質數是：
截至2022年，已知的最大質數階乘質數是 3267113#-1 ，它有 1418398 位數，由PrimeGrid發現。[1]已知的最大的形如 n#+1 的質數階乘質數是 392113#+1 ，它有 169966 位數，由Daniel Heuer發現。
質數階乘質數也能用來證明質數是無限的。
首先，假設前n個質數是唯一存在的質數。如果pn# + 1或pn# − 1是質數階乘質數，這意味着有比第n個質數更大的質數（即使不是質數，也能證明質數無窮，但不那麼直接。這兩個數除以前n個中的任何一個質數 p 時，都有餘數 1 或 p−1 ，因此不整除其中任何一數）。
事實上，歐幾里得的證明並沒有假設一個有限集合包含所有質數的存在。相反，他說：
consider any finite set of primes
(not necessarily the first n primes;
e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
and then went on from there to the conclusion
that at least one prime exists that is not in that set.
意思是： 考慮任何質數的有限集合（不一定是一開始的質數，例如，它可以是集合{3，11，47}），然後從兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個不在該集合的質數。[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）[2]
參見
參考文獻
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