球 (數學)

球（英語：sphere）在數學裏，是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。

一個球

在歐氏空間裏，球是指球面的內部。

球的概念不只存在於三維歐氏空間裏，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裏。${\displaystyle n\,\!}$維空間裏的球稱為${\displaystyle n\,\!}$維球，且包含於${\displaystyle n-1\,\!}$維球面內。因此，在歐氏平面裏，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間裏，球則是指在二維球面邊界內的空間。

歐氏空間裏的球

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裏，一個中心為 ${\displaystyle x\,\!}$ ，半徑為 ${\displaystyle r\,\!}$ 的 ${\displaystyle n\,\!}$ 維（開）球是個由所有距 ${\displaystyle x\,\!}$ 的距離小於 ${\displaystyle r\,\!}$ 的點所組成之集合。一個中心為 ${\displaystyle x\,\!}$，半徑為 ${\displaystyle r\,\!}$ 的 ${\displaystyle n\,\!}$ 維閉球是個由所有距 ${\displaystyle x\,\!}$ 的距離小於等於 ${\displaystyle r\,\!}$ 的點所組成之集合。

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裏，每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時，球是個有界的區間；在二維時，是某個圓的內部（圓盤）；而在三維時，則是某個球面的內部。

體積

主條目：n維球的體積

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裏，半徑 ${\displaystyle R\,\!}$ 的球之 ${\displaystyle n\,\!}$ 維體積為^[1]：

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

其中，Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積：

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}$

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}$

在奇數維度時的體積公式裏，對每個奇數${\displaystyle 2k+1\,\!}$，雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

一般度量空間裏的球

令 (M,d) 為一度量空間，即具有度量（距離函數）d 的集合 M。中心為 M 內的點 p，半徑為 r > 0 的開球，通常標計為 B_r(p) 或 B(p; r)，定義為

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},}$

其閉球，可標計為 B_r[p] 或 B[p; r]，則定義為

${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$

請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 p，因為依定義， r > 0。

開球的閉包通常標記為 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$。雖然 ${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p]}$ 總是成立的，但 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p]}$ 則不一定總是為真。舉例來說，在一個具離散度量的度量空間 X 裏，對每個 X 內的 p 而言，${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$，但 ${\displaystyle B_{1}[p]=X}$。

一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

度量空間裏的開球為拓撲空間裏的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。

賦範向量空間裏的球

每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裏，每個球 B_r(p) 均可視為是單位球 B₁(0) 平移 p，再縮放 r 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裏的球亦為賦範向量空間裏球的一例。

p-範數

在具 p-範數 L_p 的笛卡爾空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 裏，開球是指集合

${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}$

在二維（n=2）時，L₁（通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 L_∞（切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。

在三維（n=3）時，L₁ 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 L_∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值，該球則會是超橢球的內部。

一般凸範數

更一般性地，給定任一 Rⁿ 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X，均可定義一個在 Rⁿ 的範數，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 Rⁿ 內的範數。

拓撲空間裏的球

在拓撲學的文獻裏，「球」可能有兩種含義，由上下文決定。

開集

「（開）球」一詞有時被非正式地用於指代任何開集：可以用「p 點周圍的一個球」代表包含p 的一個開集。該集合同胚於什麼依賴於背景拓撲空間以及所選取的開集。同樣，「閉球」有時用於表示這樣一個開集的閉包。（這可能產生誤導，例如超度量空間中一個閉球不是同樣半徑的開球的閉包，它們都是既開且閉的。）

有時，鄰域用於指代這個意義上的球，但是鄰域其實有更一般的意義：p 的一個鄰域是任何包含一個p 的開集的集合，因此通常不是開集。

拓撲球

X 內的 n 維（開或閉）拓撲球是指 X 內同胚於 n 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裏很重要，為建構胞腔復形的基礎。

任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rⁿ 及 n 維開單位超方形 ${\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]ⁿ。

n 維球同胚於 m 維球，若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rⁿ 間的同胚可分成兩種類型，以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 n 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。

另見

• 球 - 一般常見的意義
• 圓盤
• 形式球，將球的半徑延伸至負值。
• 鄰域
• 三維球面
• n維球面（超球面）
• 亞歷山大帶角球（英語：Alexander horned sphere）
• 流形
• n維球的體積（英語：Volume of an n-ball）
• 正八面體，${\displaystyle \ell _{1}}$ 度量下的三維球

• 球殼（英語：Spherical shell）
• 橢球
• 球缺
• 半球

參考文獻

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.19(iii) n-Dimensional Sphere. [2015-09-28]. （原始內容存檔於2021-04-22）.

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]^{[永久失效連結]}

參見

• 數學主題