獨立性 (數理邏輯)

在數理邏輯上，獨立性指的是一個句子相對於其他句子的不可證明性。

若一個句子${\displaystyle \sigma }$獨立於一個一階理論（英語：Theory (mathematical logic)）${\displaystyle T}$，那就表示說${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由${\displaystyle T}$證明${\displaystyle \sigma }$，也不能由${\displaystyle T}$證明${\displaystyle \sigma }$為偽。對於這樣的${\displaystyle \sigma }$，有時會說${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不可判定的，而這裏的「不可判定」跟決定性問題中的「不可判定」是不同的。

若理論${\displaystyle T}$中的每項公設都不能由${\displaystyle T}$中的其他公設證明，則說${\displaystyle T}$是獨立的，一個有着獨立公設集合的理論又稱可獨立公設化的。

用法注意

在一些作者的用法下，「${\displaystyle \sigma }$獨立於${\displaystyle T}$」只表示「${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不能證明的」，但不表示${\displaystyle \sigma }$是不能否證的，而這些作者在講說「${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不能證明也不能否證的」時候，常會說「${\displaystyle \sigma }$是獨立且自洽於${\displaystyle T}$的。」

集合論中的獨立結果

• 選擇公理
• 連續統假設
• 蘇斯林問題

在假定ZFC（帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的：

• 強不可達基數的存在性
• 大基數的存在性
• 庫瑞巴樹（英語：Kurepa tree）的存在性

下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論專家期望在ZF中找到這些問題的否證；然而即使ZF是自洽的，也無法以ZF證明下述的問題獨立於ZF：

• 決定公理
• 實決定公理（英語：Axiom of real determinacy）
• AD+（英語：AD+）

在物理理論上的應用

自2000年起，學界開始認為邏輯獨立性在物理基礎上扮演着關鍵角色。^[1][2]

參見

• ZFC系統無法確定的命題列表
• 幾何等領域的平行公設

註解

1. Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č., Logical independence and quantum randomness, New Journal of Physics, 2010, 12: 013019, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, arXiv:0811.4542 , doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019
2. Székely, Gergely, The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity, Reports on Mathematical Physics, 2013, 72 (2): 133–152, Bibcode:2013RpMP...72..133S, arXiv:1202.5790 , doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9

參考資料

• Mendelson, Elliott, An Introduction to Mathematical Logic 4th, London: Chapman & Hall, 1997, ISBN 978-0-412-80830-2
• Monk, J. Donald, Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90170-1 含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Stabler, Edward Russell, An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1948