模層

數學中，賦環空間${\displaystyle (X,\ O)}$上O-模的層或O-模是層F，使得對開的${\displaystyle U\subseteq X}$，${\displaystyle F(U)}$是${\displaystyle O(U)}$-模，${\displaystyle F(U)\to F(V)}$的限制映射與${\displaystyle O(U)\to O(V)}$的限制映射相容：${\displaystyle \forall f\in O(U),\ s\in F(U)}$，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

標準情況是當X是概形，O是其結構層。若O是常層${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$，則O-模的層等同於阿貝爾群層（即阿貝爾層）。

若X是環R的主譜，則R-模會自然地確定一個${\displaystyle O_{X}}$-模，稱作相關層。相似地，若R是分次環，X是R的射影構造，則分次模會自然地確定一個${\displaystyle O_{X}}$-模。這樣產生的${\displaystyle O_{X}}$-模是准凝聚層的例子，事實上在仿射與射影概形上，所有準凝聚層都可這樣生成。

賦環空間上的模層形成阿貝爾範疇。^[1]而且這範疇有足內射（enough injective），^[2]因此定義了層上同調${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$，為全局截面函子${\displaystyle \Gamma (X,-)}$的第i右導出函子。^[3]

例子

• 給定賦環空間${\displaystyle (X,\ O)}$，若F是O的O-子模，則稱之為O的理想層，因為對開的${\displaystyle U\subseteq X}$，${\displaystyle F(U)}$是環${\displaystyle O(U)}$的理想。
• 設X為n維光滑簇，則X的切層是餘切層${\displaystyle \Omega _{X}}$的對偶，規範層${\displaystyle \omega _{X}}$是${\displaystyle \Omega _{X}}$的n次外冪。
• 代數層是模層，也是環層。

運算

設${\displaystyle (X,\ O)}$為賦環空間。若F和G都是O-模，則它們的張量積

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$ or ${\displaystyle F\otimes G}$,

也是O-模，與預層${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U)}$相關聯（計算${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$的全局截面，其中${\displaystyle O(1)}$是射影空間上的塞爾扭曲層，如此可知層化是不可避免的）。

同樣，若F、G都是O-模，則

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

表示作為層${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$的O-模。^[4]特別地，O-模

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

稱作F的對偶模，記作${\displaystyle {\check {F}}}$。注意：對任意O-模E、F，都有規範同態

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

若E是秩有限的局部自由層，則就是同構。特別地，若L局部自由且秩為1（稱這樣的L是可逆層或線叢 ），^[5]則有

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

這意味着可逆層的同構類構成群，稱作X的皮卡第群，規範等同於第一上同調群${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$（由標準的切赫上同調論證）。

若E是秩有限的局部自由層，則有配對給出的O-線性映射${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$，稱作E的跡映射。

對任意O-模F，其張量代數、外代數和對稱代數的定義方式類似。例如，k次外冪

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

是與預層${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$相關聯的層。若F是秩為n的局部自由層，則${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$稱作F的行列式（determinant）線叢（嚴格說是可逆層），記作${\displaystyle {\rm {det}}(F)}$。有自然的完美配對：

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

設${\displaystyle f(X,\ O)\to (X',\ O')}$是賦環空間之間的態射。若F是O-模，則直像層${\displaystyle f_{*}F}$通過自然映射${\displaystyle O'\to f_{*}O}$是O'-模（這樣的自然映射是賦環空間態射數據的一部分）。

若G是O'-模，則G的模逆像${\displaystyle f^{*}G}$是作為模的張量積的O-模：

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

其中${\displaystyle f^{-1}G}$是G的逆像層，${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$由伴隨從${\displaystyle O'\to f_{*}O}$得到。

${\displaystyle f_{*}}$和${\displaystyle f^{*}}$之間有伴隨關係：對任意O-模F、O'-模G，

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

是阿貝爾群。還有射影公式：對O-模F、秩有限的局部自由O'-模E，

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

性質

令${\displaystyle (X,\ O)}$是賦環空間。O-模F，若有O-模的滿射：

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

則稱F是由全局截面生成的。明確地說，這意味着存在F的全局截面${\displaystyle s_{i}}$使得${\displaystyle s_{i}}$在每個莖${\displaystyle F_{x}}$中的像生成了作為${\displaystyle O_{X}}$-模的${\displaystyle F_{x}}$。

代數幾何中，R-模M（R是任意交換環）與環的譜${\displaystyle {\rm {Spec}}(R)}$相關聯，就是這種層的一個例子。

另一個例子：據嘉當定理A，施坦流形上的凝聚層都是由全局截面張成的（參下列塞爾定理A）。在概形論中，一個相關概念是充足線叢（ample line buldle，例如若L是充足線叢，那麼它的某個冪是由全局截面生成的）。

內射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射${\displaystyle F(U)\to F(V)}$都是滿射）。^[6]由於弛層在阿貝爾層範疇中是非周期性的，所以O-模範疇中的全局截面函子${\displaystyle \Gamma (X,-)}$的第i右導出函子與通常的阿貝爾層範疇中的第i層上同調相重合。^[7]

與模相關聯的層

令M是環A上的模。置${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$ and write ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$。對每對${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$，根據局部化的泛性質，有自然映射

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

有性質${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$。則

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

是對象為集合${\displaystyle D(f)}$、態射為集合包含的範疇，到阿貝爾群範疇的反變函子。可以證明^[8]它實際上是B-層（即其滿足膠合公理），於是定義了X上的層${\displaystyle {\widetilde {M}}}$，稱作與M相關聯的層。

最基本的例子是X上的結構層，即${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$。此外，${\displaystyle {\widetilde {M}}}$具有${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$-模的結構，因此可得到A上模範疇${\displaystyle {\rm {Mod}}A}$到${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$上模範疇的正合函子${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$。其定義了${\displaystyle {\rm {Mod}}A}$到X上准凝聚層範疇的等價，其逆${\displaystyle \Gamma (X,-)}$是全局截面函子。X是諾特概形時，函子是從有限生成A-模到X上凝聚層範疇的等價。

此構造有以下性質：對任意A-模M、N與任意態射${\displaystyle \varphi :M\to N}$，

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$.^[9]
• 對A的任意素理想，${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$作為${\displaystyle O_{p}=A_{p}}$-模。
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$.^[10]
• 若M是有限表示模，${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$.^[10]
• 由於${\displaystyle {\rm {Mod}}_{A}}$與X上准凝聚層範疇間的等價關係，${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$。
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$;^[11]特別是，取直和與~交換。
• 若且唯若${\displaystyle \sim }$的誘導序列正合，稱A-模序列正合。特別地，${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$.

與分次模相關聯的層

上一節中的構造與等價有一個分次類似物。令R是由${\displaystyle R_{0}}$-代數（${\displaystyle R_{0}}$表示度為0的元素）的度為1的元素生成的分次環，M是分次R-模。令X是R的射影構造（於是若R不是諾特環，則X是射影概形），則有O-模${\displaystyle {\widetilde {M}}}$，使得對R的度數為正的任意齊次元f，有自然同構

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

作為仿射概形${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$上的模層；^[12]實際上，這通過膠合定義了${\displaystyle {\widetilde {M}}}$。

例子：令${\displaystyle R(1)}$為分次R-模：${\displaystyle R(1)_{n}=R_{n+1}}$，則${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$稱作塞爾扭曲層，若R次數為1、是有限生成的，則塞爾扭曲層是重言線叢的對偶。

若F是X上的O-模，則${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$就有規範同態：

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

若且唯若F是准凝聚層時，它是同構。

計算層上同調

主條目：層上同調

層上同調以難以計算而聞名。正因如此，下面的一般事實對任何實際計算都是重要的：

定理 — 令X是拓撲空間，F是其上的阿貝爾層，${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$是X的開覆蓋，使得${\displaystyle \forall i,\ p,\ U_{i_{j}}\in {\mathfrak {U}},\ \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}$。則對任意i，

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}$

其中右式是第i切赫上同調。

塞爾消失定理^[13]指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚層，則對足夠大的n，塞爾扭曲${\displaystyle F(n)}$由有限多全局截面生成。此外，

• ${\displaystyle \forall i,\ H^{i}(X,\ F)}$是在${\displaystyle R_{0}}$上有限生成的；
• 有取決於F的整數${\displaystyle n_{0}}$使得

$${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$^[14][15][16]

層擴張

令${\displaystyle (X,\ O)}$是賦環空間，F、H是X上O-模的層。H對F的擴張是O-模的短正合列

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

與群擴張一樣，若固定F、H，則H對F擴張的所有等價類構成阿貝爾群（參Baer和），其與Ext群${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$同構，當中${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$中的么元對應平凡擴張。

H是O的情形下，有：${\displaystyle \forall i\geq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

因為兩側是同一個函子${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)}$的右導出函子。

注: Hartshorne等學者不寫下標O。

設X是諾特環上的射影概形。令F、G是X上的凝聚層，i是整數，則存在${\displaystyle n_{0}}$使得

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$.^[17]

局部自由消解

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$對任何凝聚層${\displaystyle {\mathcal {F}}}$都可用局部自由消解輕鬆計算：^[18]給定復形

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

則

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

於是

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

例子

超曲面

考慮度數為d的光滑超曲面X，則可計算消解

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

並發現

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

光滑完全交的並

考慮概形

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

其中${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$是光滑完全交，${\displaystyle \deg(f)=d,\ \deg(g_{i})=e_{i}}$。則有復形

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

消解了${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$，可用於計算${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$。

另見

• D-模
• 分式理想
• 全純向量叢

註釋

1. Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2.5.
2. Hartshorne，Ch. III, Proposition 2.2.
3. 此上同調函子與與阿貝爾層範疇中的全局截面函子的右導出函子重合，參Hartshorne，Ch. III, Proposition 2.6.
4. 有規範同態：

   ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}$

   若F是有限表示，則其是同構(EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
5. 對於凝聚層，有張量逆等同於局部自由且秩為1。實際上有事實：若${\displaystyle F\otimes G\simeq O}$、且F凝聚，則F、G局部自由且秩為1。(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
6. Hartshorne，Ch III, Lemma 2.4.
7. see also: https://math.stackexchange.com/q/447234
8. Hartshorne，Ch. II, Proposition 5.1.
9. EGA I，Ch. I, Proposition 1.3.6. harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFEGA_I (幫助)
10. EGA I，Ch. I, Corollaire 1.3.12. harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFEGA_I (幫助)
11. EGA I，Ch. I, Corollaire 1.3.9. harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFEGA_I (幫助)
12. Hartshorne，Ch. II, Proposition 5.11.
13. Section 30.2 (01X8): Čech cohomology of quasi-coherent sheaves—The Stacks project. stacks.math.columbia.edu. [2023-12-07]. （原始內容存檔於2024-08-04）.
14. Costa, Miró-Roig & Pons-Llopis 2021，Theorem 1.3.1
15. Links with sheaf cohomology. Local Cohomology. 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023.
16. Serre 1955，§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.
17. Hartshorne，Ch. III, Proposition 6.9.
18. Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. : 233–235.

參考文獻

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4 [2024-04-13]. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. （原始內容存檔於2021-07-19）.
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan. Ulrich Bundles. 2021 [2024-09-17]. ISBN 9783110647686. doi:10.1515/9783110647686. （原始內容存檔於2023-10-01）.
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• Serre, Jean-Pierre, Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.) (PDF), Annals of Mathematics, 1955, 61 (2): 197–278 [2024-04-13], JSTOR 1969915, MR 0068874, doi:10.2307/1969915, （原始內容存檔 (PDF)於2024-06-04）