標準分數Standard Score,又稱z-score,中文稱為Z-分數標準分標準計分[1])在統計學中是一種無因次值,就是一種純數字標記,是藉由從單一(原始)分數中減去總體平均值,再依照總體(母集合)的標準差分割成不同的差距,按照z值公式,各個樣本在經過轉換後,通常在正、負五到六之間不等。其算數平均數必為0,標準差必為1。

正態分佈跟標準分數之間的關係。

概念

標準分數與使用在高速篩選分析中的「Z-因數」(z-factor)不同,甚至有時兩者會互相混淆。

其約化過程被稱為「標準化」(standardizing)。

標準分數可藉由以下公式求出:

其中

其中

  • 是需要被標準化的原始分數
  • 是總體的平均值
  • 是總體的標準差

Z值的量代表着原始分數和總體平均值之間的距離,是以標準差為單位計算。在原始分數低於平均值時Z則為負數,反之則為正數。換句話說,Z值是從感興趣的點到均值之間有多少個標準差。

關鍵點是,計算Z值時需要「總體」的平均值和標準差,而不是「樣本」的平均值和標準差。因此需要了解總體的統計數據資料。

但是要確實了解總體真正的標準差往往是不切實際的,除非是在「標準化測驗」之類的情形中,整個總體都是經過測量的。在其他情況中,幾乎不可能測量總體的每一個組成單位,因此通常會使用隨機的樣本來評估標準差。例如:「有吸煙習慣的總人數」就不是經過一個一個測量而得出的。

在這種情況下,標準分數為:

其中

其中

  • 是樣本平均值

當總體為正態分佈時,其百分位數可能是由標準分數和普通表格所決定的。

數理統計學中的標準化

數理統計學中,隨機變量「X」是使用理論(總體)的平均值和標準差所標準化的結果:

其中 μ = E(X) 為平均值、σ² = Var(X) 為X概率分佈之方差

若隨機變量無法確定時,則為算術平均數

因此經過標準化的結果為:

應用

  • 日本,標準分數常被用在計算學力測驗的「學力偏差值」,並且依此判斷進入理想大學的可能性。
  • 智力測驗時,用來計算「智力標準分數」,在教育的用途上,常和「智商」一起被當作參考的依據。

高考標準分

截至2020年,中國大陸地區曾有福建省海南省實行標準分制度以計算高考總分。

外部連結

參見

參考資料

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