柯西序列

在數學中，柯西序列、柯西列、柯西數列（英語：Cauchy sequence），也稱為基本列，是指一個元素隨着序數的增加而愈發靠近的數列，^{[註 1]}以數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名。

一個柯西序列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 的繪圖，使用藍色，${\displaystyle x_{n}}$ 相對於 ${\displaystyle n}$。如果包含這個序列的空間是完備的，則這個序列的「最終目標」也就是極限存在

非柯西的一個序列。這個序列的元素不能隨着序列前進而相互靠近

柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間中柯西列才有意義。在更一般的一致空間中，可以定義更為抽象的柯西濾子和柯西網。

柯西列一個重要性質是，在完備空間中，所有的柯西數列都有極限且極限在這空間裏，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該數列的極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值，如構造實數。

複數的柯西列

一個複數序列

${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots }$

被稱為柯西列，如果對於任何正實數${\displaystyle r>0}$，存在一個正整數${\displaystyle N}$使得對於所有的整數${\displaystyle m,n\geq N}$，都有

${\displaystyle |z_{m}-z_{n}|<r,}$

其中的豎線表示絕對值或模。

類似地，我們可以定義實數的柯西列。

度量空間中的柯西列

為了將柯西列的定義推廣到一般的度量空間，必須將絕對值替換為該度量空間中的距離。

形式上說，給定任何一個度量空間${\displaystyle (M,d)}$，一個序列

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$

被稱為柯西列，如果對於任何正實數${\displaystyle r>0}$，存在一個正整數${\displaystyle N}$使得對於所有的整數${\displaystyle m,n>N}$，都有

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r}$

其中${\displaystyle d(x,y)}$表示${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$之間的距離。

直觀上說，一個序列中的元素越來越靠近似乎說明這個序列必然在這個度量空間存在一個極限，而事實上在某些情況下這個結論是不對的。

例子

• 對於有絕對值作為範數的有理數空間${\displaystyle \mathbb {Q} }$，定義數列：

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots }$滿足： ${\displaystyle x_{n}={[{\sqrt {2}}n] \over n}}$

這個數列趨於 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ，但${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不屬於${\displaystyle \mathbb {Q} }$，因此這個數列不收斂。

• 對於所有多項式組成的空間，定義每個多項式的範數是其係數絕對值的最大值，兩個多項式之間的距離則是它們的差的範數。考慮多項式列：:${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots }$滿足： ${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}{x^{k} \over k}}$。這個多項式列中，對任意 ${\displaystyle m>n\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle d(x_{m},x_{n})=||\sum _{k=n+1}^{m}{x^{k} \over k}||={1 \over n+1}}$，趨於零，因此它是一個柯西列。但這個柯西列顯然不收斂。

完備性

一個度量空間${\displaystyle X}$中的所有柯西數列都會收斂到 ${\displaystyle X}$ 中的一點 ，那麼${\displaystyle X}$被稱為是一個完備空間。

• 例子：實數

實數是完備的，而且標準的實數構造包含有理數的柯西列。

• 反例：有理數

有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$在通常定義的距離意義下不是完備的：

存在某個由有理數組成的序列，收斂到某個無理數，所以這數列在有理數這空間是不收斂的。

例如：

• 如下定義的序列：${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}=(x_{n}+2/x_{n})/2}$，即${\displaystyle (1,3/2,17/12,...)}$。可以證明這個序列收斂到一個無理數${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。
• 對於每個給定的${\displaystyle x\neq 0}$而言，以下函數${\displaystyle \exp(x),\sin(x),\cos(x)}$的值都可以表示為一個有理數序列的極限，但當${\displaystyle x}$為有理數時，這個值卻是無理數。

其他性質

任何收斂數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$是一個由度量空間${\displaystyle M}$到度量空間${\displaystyle N}$的一致連續的映射，並且${\displaystyle \{x_{n}\}}$是${\displaystyle M}$中的柯西列，那麼${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$也必然是${\displaystyle N}$中的柯西列。

如果${\displaystyle \{x_{n}\}}$和${\displaystyle \{y_{n}\}}$是有理數、實數或複數構成的柯西列，那麼${\displaystyle \{x_{n}+y_{n}\}}$和${\displaystyle \{x_{n}y_{n}\}}$也是柯西列。

推廣

拓撲向量空間中的柯西列

在一個拓撲向量空間${\displaystyle X}$中同樣可以定義一個柯西列：在${\displaystyle X}$選擇一個${\displaystyle 0}$局部基${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，如果對於${\displaystyle {\mathcal {B}}}$中的任何元素${\displaystyle V}$，存在一個正整數${\displaystyle N}$使得對於任意的${\displaystyle m,n>N}$而言，序列${\displaystyle \{x_{k}\}}$滿足${\displaystyle x_{m}-x_{n}\in V}$，那麼這個序列就稱為一個柯西列。

如果這個拓撲向量空間${\displaystyle X}$上有恰好可以引入一個平移不變度量${\displaystyle d}$，那麼上述方法定義的柯西列和利用這個度量${\displaystyle d}$定義的柯西列是等價的。

群中的柯西列

在一個群中，同樣可以定義柯西列：

命${\displaystyle H=\{H_{r}\}}$表示一列有限指標的遞減的${\displaystyle G}$的正規子群，那麼群${\displaystyle G}$中一個序列${\displaystyle \{x_{n}\}}$稱為柯西列（對於上述${\displaystyle H}$而言），若且唯若對於任意的${\displaystyle r}$，存在正整數${\displaystyle N}$使得對於任意的${\displaystyle m,n>N}$，都有${\displaystyle x_{m}x_{n}^{-1}\in H}$。

如果用${\displaystyle C}$表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合，那麼${\displaystyle C}$在序列點點相乘的意義下構成一個新的群。而且${\displaystyle C_{0}}$，即所有空序列（對於任意${\displaystyle r}$，存在${\displaystyle N}$使得對於任意${\displaystyle n>N}$，都有${\displaystyle n\in H_{r}}$）構成了${\displaystyle C}$的正規子群。而商群${\displaystyle C/C_{0}}$稱為${\displaystyle G}$相對於${\displaystyle H}$的完備化。

可以證明，這個完備化同構與序列${\displaystyle \{G/H_{4}\}}$的逆向極限（英語：inverse limit）同構。

如果${\displaystyle H}$是個共尾序列（即任何有限的正規子群均包含某個${\displaystyle H_{r}}$），那麼這個完備化在與${\displaystyle \{G/H\}_{H}}$的逆極限同構的意義下是規範的，這裏的${\displaystyle H}$跑遍所有有限的正規子群。

註釋

1. 更確切地說，在去掉有限個元素後，可以使得餘下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正數。

參考書目

• Bourbaki, Nicolas. Commutative Algebra English translation. Addison-Wesley. 1972. ISBN 0-201-0644-8.

• Lang, Serge. Algebra 3rd ed., reprint w/ corr. Addison-Wesley. 1997. ISBN 978-0-201-55540-0.