最大概似估計

在統計學中，最大概似估計（英語：maximum likelihood estimation，簡作MLE），也稱極大概似估計，是用來估計一個概率模型的參數的一種方法。

預備知識

下方的討論要求讀者熟悉概率論中的基本定義，如概率分佈、概率密度函數、隨機變量、數學期望值等。讀者還須先熟悉連續實函數的基本性質，比如使用微分來求一個函數的極值（即極大值或極小值）。
同時，讀者須先擁有概似函數的背景知識，以了解最大概似估計的出發點及應用目的。

最大概似估計的原理

給定一個概率分佈${\displaystyle D}$，已知其概率密度函數（連續分佈）或概率質量函數（離散分佈）為${\displaystyle f_{D}}$，以及一個分佈參數${\displaystyle \theta }$，我們可以從這個分佈中抽出一個具有${\displaystyle n}$個值的採樣${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$，利用${\displaystyle f_{D}}$計算出其概似函數：

${\displaystyle {\mbox{L}}(\theta \mid x_{1},\dots ,x_{n})=f_{\theta }(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

若${\displaystyle D}$是離散分佈，${\displaystyle f_{\theta }}$即是在參數為${\displaystyle \theta }$時觀測到這一採樣的概率；若其是連續分佈，${\displaystyle f_{\theta }}$則為${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$聯合分佈的概率密度函數在觀測值處的取值。一旦我們獲得${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$，我們就能求得一個關於${\displaystyle \theta }$的估計。最大概似估計會尋找關於${\displaystyle \theta }$的最可能的值（即，在所有可能的${\displaystyle \theta }$取值中，尋找一個值使這個採樣的「可能性」最大化）。從數學上來說，我們可以在${\displaystyle \theta }$的所有可能取值中尋找一個值使得概似函數取到最大值。這個使可能性最大的${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$值即稱為${\displaystyle \theta }$的最大概似估計。由定義，最大概似估計是樣本的函數。

注意

• 這裏的概似函數是指${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$不變時，關於${\displaystyle \theta }$的一個函數。
• 最大概似估計不一定存在，也不一定唯一。

推導

最大概似估計可以從相對熵推導而來。相對熵衡量了使用一個給定分佈${\displaystyle Q}$來近似另一個分佈${\displaystyle P}$時的資訊損失，對於離散型隨機變量，可以用以下公式：

${\displaystyle D_{\text{KL}}(P||Q)=\sum _{i}P(i)\log {\frac {P(i)}{Q(i)}}}$

其中，${\displaystyle P}$是真實分佈，${\displaystyle Q}$是近似分佈。在最大概似估計的情景下，假設分佈擁有一系列參數${\displaystyle \theta }$，我們希望通過樣本得到參數的估計值${\displaystyle {\hat {\theta }}}$。我們可以利用相對熵來評判估計的好壞：

${\displaystyle D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))=\sum _{x\in E}p_{\theta }(x)\log {\frac {p_{\theta }(x)}{p_{\hat {\theta }}(x)}}}$

根據期望值的定義，我們可以將上式改寫為：

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))&=\mathbb {E} _{\theta }\left[\log \left({\frac {p_{\theta }(x)}{p_{\hat {\theta }}(x)}}\right)\right]\\&=\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(x)]-\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\hat {\theta }}(x)]\end{aligned}}}$

KL值越大，參數估計越壞，因此，需要通過改變估計參數${\displaystyle {\hat {\theta }}}$的值來獲得最小的值，所對應的參數極為最佳估計參數。即：

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{best}}=\arg \min _{\hat {\theta }}D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))}$

假設有${\displaystyle n}$個樣本，根據大數定理，可以進行替換：

${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\hat {\theta }}(x)]\rightsquigarrow {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x)}$

即，可以通過下式評估：

${\displaystyle D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))=\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(x)]-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})}$

對於一個已知的分佈，其參數${\displaystyle \theta }$是確定的。因此，${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(x)]}$為常數。因此，我們可以通過最小化KL值獲得最佳估計參數：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&=\arg \min _{\hat {\theta }}\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(X)]-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \min _{\hat {\theta }}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}\log \left[\prod _{i=1}^{n}p_{\hat {\theta }}(x_{i})\right]\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}\prod _{i=1}^{n}p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\\end{aligned}}}$

因此，要得到最佳參數估計值，只需要最大化${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{\hat {\theta }}(x_{i})}$，這就是最大概似函數。對於連續型隨機變量，有相同的結論。

例子

離散分佈，離散有限參數空間

考慮一個拋硬幣的例子。假設這個硬幣正面跟反面輕重不同。我們把這個硬幣拋80次（即，我們獲取一個採樣${\displaystyle x_{1}={\mbox{H}},x_{2}={\mbox{T}},\ldots ,x_{80}={\mbox{T}}}$並把正面的次數記下來，正面記為H，反面記為T）。並把拋出一個正面的概率記為${\displaystyle p}$，拋出一個反面的概率記為${\displaystyle 1-p}$（因此，這裏的${\displaystyle p}$即相當於上方的${\displaystyle \theta }$）。假設我們拋出了49個正面，31個反面，即49次H，31次T。假設這個硬幣是我們從一個裝了三個硬幣的盒子裏頭取出的。這三個硬幣拋出正面的概率分別為${\displaystyle p=1/3}$, ${\displaystyle p=1/2}$, ${\displaystyle p=2/3}$，這些硬幣沒有標記，所以我們無法知道哪個是哪個。使用最大概似估計，基於二項分佈中的概率質量函數公式，通過這些試驗數據（即採樣數據），我們可以計算出哪個硬幣的可能性最大。這個概似函數取以下三個值中的一個：

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {L} (p=1/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/3)&=&{80 \choose 49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}\approx 0.000\\&&\\\mathbb {L} (p=1/2\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/2)&=&{80 \choose 49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}\approx 0.012\\&&\\\mathbb {L} (p=2/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=2/3)&=&{80 \choose 49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}\approx 0.054\\\end{matrix}}}$

我們可以看到當${\displaystyle {\widehat {p}}=2/3}$時，概似函數取得最大值。
顯然地，這硬幣的公平性和那種拋出後正面的概率是2/3的硬幣是最接近的。這就是${\displaystyle p}$的最大概似估計。

離散分佈，連續參數空間

現在假設例子1中的盒子中有無數個硬幣，對於${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$中的任何一個${\displaystyle p}$， 都有一個拋出正面概率為${\displaystyle p}$的硬幣對應，我們來求其概似函數的最大值：

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{L}}(\theta )&=&f_{D}({\mbox{H=49,T=80-49}}\mid p)={80 \choose 49}p^{49}(1-p)^{31}\\\end{matrix}}}$

其中${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. 我們可以使用微分法來求極值。方程兩邊同時對${\displaystyle p}$取微分，並使其為零。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{80 \choose 49}{\frac {d}{dp}}\left(p^{49}(1-p)^{31}\right)\\&&\\&\propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\\&&\\&=&p^{48}(1-p)^{30}\left[49(1-p)-31p\right]\\\end{matrix}}}$

在不同比例參數值下一個二項式過程的可能性曲線t = 3, n = 10；其最大概似估計值發生在其眾數並在曲線的最大值處。

其解為${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle p=1}$，以及${\displaystyle p=49/80}$.使可能性最大的解顯然是${\displaystyle p=49/80}$（因為${\displaystyle p=0}$和${\displaystyle p=1}$這兩個解會使可能性為零）。因此我們說最大概似估計值為${\displaystyle {\widehat {p}}=49/80}$.

這個結果很容易一般化。只需要用一個字母${\displaystyle t}$代替49用以表達伯努利試驗中的被觀察數據（即樣本）的「成功」次數，用另一個字母${\displaystyle n}$代表伯努利試驗的次數即可。使用完全同樣的方法即可以得到最大概似估計值:

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {t}{n}}}$

對於任何成功次數為${\displaystyle t}$，試驗總數為${\displaystyle n}$的伯努利試驗。

連續分佈，連續參數空間

最常見的連續概率分佈是正態分佈，其概率密度函數如下：

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

現在有${\displaystyle n}$個正態隨機變量的採樣點，要求的是一個這樣的正態分佈，這些採樣點分佈到這個正態分佈可能性最大（也就是概率密度積最大，每個點更靠近中心點），其${\displaystyle n}$個正態隨機變量的採樣的對應密度函數（假設其獨立並服從同一分佈）為：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

也可以寫為：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$,

這個分佈有兩個參數：${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}$.有人可能會擔心兩個參數與上方的討論的例子不同，上方的例子都只是在一個參數上對可能性進行最大化。實際上，在兩個參數上的求最大值的方法也差不多：只需要分別把可能性${\displaystyle {\mbox{L}}(\mu ,\sigma )=f(x_{1},,\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})}$在兩個參數上最大化即可。當然這比一個參數麻煩一些，但是一點也不複雜。使用上方例子同樣的符號，我們有${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$.

最大化一個概似函數同最大化它的自然對數是等價的。因為自然對數log是一個連續且在概似函數的值域內嚴格遞增的上凹函數。[注意：可能性函數（概似函數）的自然對數跟資訊熵以及費雪訊息聯繫緊密。]求對數通常能夠一定程度上簡化運算，比如在這個例子中可以看到：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\cfrac {\partial }{\partial \mu }}\log \left(\left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&={\cfrac {\partial }{\partial \mu }}\left(\log \left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}-{\cfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=0-{\cfrac {-2n({\bar {x}}-\mu )}{2\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$

這個方程的解是${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}$.這的確是這個函數的最大值，因為它是${\displaystyle \mu }$裏頭惟一的一階導數等於零的點並且二階導數嚴格小於零。

同理，我們對${\displaystyle \sigma }$求導，並使其為零。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\cfrac {\partial }{\partial \sigma }}\log \left(\left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&={\cfrac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\cfrac {n}{2}}\log \left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)-{\cfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=-{\cfrac {n}{\sigma }}+{\cfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{\sigma ^{3}}}\end{aligned}}}$

這個方程的解是${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\widehat {\mu }})^{2}/n}$.

因此，其關於${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$的最大概似估計為：

${\displaystyle {\widehat {\theta }}=({\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})=({\bar {x}},\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}/n)}$.

性質

泛函不變性（Functional invariance）

如果${\displaystyle {\hat {\theta }}}$是${\displaystyle \theta }$的一個最大概似估計，那麼${\displaystyle \alpha =g(\theta )}$的最大概似估計是${\displaystyle {\hat {\alpha }}=g({\hat {\theta }})}$。函數g無需是一個對射。^[1]

漸近線行為

最大概似估計函數在採樣樣本總數趨於無窮的時候達到最小方差，其證明可見於克拉馬－羅下限（英語：Cramér–Rao bound）。當最大概似估計非偏時，等價的，在極限的情況下我們可以稱其有最小的均方差。 對於獨立的觀察來說，最大概似估計函數經常趨於正態分佈。

偏差

最大概似估計的偏差是非常重要的。考慮這樣一個例子，標有${\displaystyle 1}$到${\displaystyle n}$的${\displaystyle n}$張票放在一個盒子中。從盒子中隨機抽取票。如果${\displaystyle n}$是未知的話，那麼${\displaystyle n}$的最大概似估計值就是抽出的票上標有的${\displaystyle n}$，儘管其期望值的只有${\displaystyle (n+1)/2}$.為了估計出最高的${\displaystyle n}$值，我們能確定的只能是${\displaystyle n}$值不小於抽出來的票上的值。

歷史

最大概似估計最早是由羅納德·費雪在1912年至1922年間推薦、分析並大範圍推廣的。^[2]（雖然以前高斯、拉普拉斯、托瓦爾·尼古拉·蒂勒和F. Y. 埃奇沃思也使用過）。^[3] 許多作者都提供了最大概似估計發展的回顧。^[4]

大部分的最大概似估計理論都在貝氏統計中第一次得到發展，並被後來的作者簡化。^[2]

參見

• 均方差是衡量一個估計函數的好壞的一個量。

• 關於拉奧-布萊克韋爾定理（Rao-Blackwell theorem）的文章中討論到如何利用Rao-Blackwellisation過程尋找最佳無偏估計（即使均方差最小）的方法。而最大概似估計通常是一個好的起點。

• 讀者可能會對最大概似估計（如果存在）總是一個關於參數的充分統計量（sufficient statistic）的函數感興趣。

• 最大概似估計跟廣義矩估計（generalized method of moments）有關。

參考文獻

1. 請參見George Casella與Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的證明。（中國大陸出版的大部分教材上也可以找到這個證明。）
2. Pfanzagl (1994) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFPfanzagl1994 (幫助)
3. Edgeworth & September 1908 harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFEdgeworthSeptember_1908 (幫助) and Edgeworth & December 1908 harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFEdgeworthDecember_1908 (幫助)
4. Savage (1976) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFSavage1976 (幫助), Pratt (1976) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFPratt1976 (幫助), Stigler （1978, 1986, 1999）, Hald （1998, 1999）, and Aldrich (1997) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFAldrich1997 (幫助)

外部連結

• 關於最大概似估計的歷史的一篇論文，作者John Aldrich