星形正多面體

星形正多面體（開普勒-龐索特多面體）是一類非凸多面體，共有四個。它們的表面均為正多邊形或星形正多邊形，且每個頂點都有相同數目的邊連接。

透視圖	立體圖	名稱	施氏符號	點	邊	面	X	對偶多面體	外接立體	內接立體	點群
		小星形十二面體	{5/2,5}	12	30	五角星×12	-6	大十二面體	正十二面體	正二十面體	${\displaystyle I_{h}}$群
		大十二面體	{5,5/2}	12	30	正五邊形×12	-6	小星形十二面體	正二十面體	正十二面體	${\displaystyle I_{h}}$群
		大星形十二面體	{5/2,3}	20	30	五角星×12	2	大二十面體	正十二面體	正十二面體	${\displaystyle I_{h}}$群
		大二十面體	{3,5/2}	12	30	等邊三角形×20	2	大星形十二面體	正二十面體	正二十面體	${\displaystyle I_{h}}$群

性質

皮特里多邊形是指兩個連續邊都屬於多面體的一個面，但三邊不屬多面體的面的不共面多邊形。哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特證明了若正多面體${\displaystyle {p,q}}$的皮特里多邊形有${\displaystyle h}$邊，則有

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\pi }{p}}+\cos ^{2}{\frac {\pi }{q}}=\cos ^{2}{\frac {\pi }{h}}}$。

除了${\displaystyle p,q,h}$均為正整數時，有5組解，對應5個正多面體。當${\displaystyle p,q,h}$為正有理數時，有多4組解，分別對應4個開普勒-龐索特多面體。

歷史

• 14世紀Paolo Uccello的畫作出現了小星形十二面體。
• 15世紀Wenzel Jamnitzer發現小星形十二面體和大星形十二面體。
• 1619年開普勒重新發現了小星形十二面體和大星形十二面體，並將它們和正多面體連繫起來。
• 1809年路易斯·龐索發現了大十二面體和大二十面體。因此這些多面體以開普勒和龐索命名。
• 1859年阿瑟·凱萊敲定了這些形狀的名字。^[1]

參見

• 正多面體
• 星形多面體

參考文獻

1. Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [論龐索的四種新正立體]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209.

1. J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
2. Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
3. Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
4. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
5. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
   • (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
   • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
6. P. Cromwell, Polyhedra, Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
7. Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
8. Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
9. Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
10. Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8., pp. 39–41.
11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 3)
12. Anthony Pugh. Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra