時滯微分方程

在數學領域中, 時滯微分方程, 或延時微分方程 (DDE) 是一類微分方程, 其中未知函數的在確定時刻的導數由先前時刻函數所決定.

對於${\displaystyle x(t)\in R^{n}}$, 時滯微分方程方程的一般形式是:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$

其中 ${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$ 表示過去時間的解軌道. 在這個方程中, ${\displaystyle f}$ 是一個從 ${\displaystyle R\times R^{n}\times C^{1}}$ 到 ${\displaystyle R^{n}\,}$ 的泛函算子.

例子

• 連續時滯微分方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )d\mu (\tau )\right)}$

• 離散時滯微分方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\ldots ,x(t-\tau _{n}))}$ for ${\displaystyle \tau _{1}>\ldots >\tau _{n}\geq 0}$.

• 離散時滯線性方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\ldots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

其中 ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{m}\in R^{n\times n}}$.

• 集電弓方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$

其中 a, b 且 λ 為常數 0 < λ < 1. 這一方程及其廣義形式以電車上的集電弓命名.

時滯微分方程求解

時滯微分方程通常用分步的方法求解. 例如考慮如下具有單一時滯的時滯微分方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{t}=f(x(t),x(t-\tau ))}$

及初始條件 ${\displaystyle \phi :[-\tau ,0]\rightarrow R^{n}}$. 那麼在區間 ${\displaystyle [0,\tau ]}$ 上的解 ${\displaystyle \psi (t)}$ 就是以下非齊次初值問題的解

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau ))}$,

且 ${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$. 這樣就可以利用前面區間的解作為非齊次項一步步求得整個區間上的解. 在實際的計算中, 初值問題通常採用數值計算.

例子

假設 ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ 且 ${\displaystyle \phi (t)=1}$. 那麼初值問題可由積分求得,

${\displaystyle x(t)=a\int _{s=0}^{t}\phi (t-\tau )\,dt+C}$,

即, ${\displaystyle x(t)=at+1}$, 其中我們取 ${\displaystyle C=1}$ 以滿足初值條件 ${\displaystyle x(0)=\phi (0)}$. 類似的對於區間 ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$ 我們積分並且使其滿足初始條件可以求得 ${\displaystyle x(t)=at^{2}/2+t+D}$ 其中 ${\displaystyle D=(a-1)\tau +1-a\tau ^{2}/2}$.

簡化為常微分方程(ODE)

在某些情況下, 時滯微分方程等價於一個常微分方程組 (由常微分方程組成的系統).

• 例 1 考慮方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }d\tau \right).}$

引入函數 ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }d\tau }$ , 可得到一個常微分方程組

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.}$

• 例 2 方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )d\tau \right)}$

等價於

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$

其中

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )d\tau .}$

特徵方程

同常微分方程(ODE)類似, 可以通過分析線性時滯微分方程的特徵方程^[1]來分析和研究解的性質. 具有離散時滯的線性時滯微分方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\ldots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

的特徵方程是

${\displaystyle det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\ldots +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0}$.

特徵方程的根 λ 被稱為特徵根或特徵值, 解集通常被稱為譜. 與常微分方程不同, 時滯微分方程的特徵方程含有指數, 具有無限個特徵值, 使得譜分析變得很困難, 但是譜對於 DDE 的分析仍然具有一些很好的性質. 例如, 雖然具有無限個特徵值, 但是只有有限個特徵值位於複平面的右側.

特徵方程是一個非線性特徵問題, 有許多計算譜的數值方法^[2]. 少數的特殊情況可以顯式地求解特徵方程. 例如, 時滯微分方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}$

的特徵方程是

${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.\,}$

這個方程對於變量 λ 有無窮多個複數解. 復解可表示為

${\displaystyle \lambda =W_{K}(-1)}$,

其中 ${\displaystyle W_{K}}$ 是朗伯W函數的第 K 個分支.

註釋

1. Michiels, Niculescu, 2007 Chapter 1
2. Jarlebring 2008 Chapter 2

參考文獻

• Bellman, Richard and Cooke, Kenneth L. Differential-difference equations. New York-London: Academic Press. 1963. ISBN 978-0120848508.
• Michiels, Wim and Niculescu, Silviu-Iulian. Stability and stabilization of time-delay systems. An eigenvalue based approach. 2007. ISBN 978-0-898716-32-0..
• Jarlebring, Elias. The spectrum of delay-differential equations: numerical methods, stability and perturbation. 2008.^{[失效連結]}.

外部連結

• Dalay differential equations （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at Scholarpedia （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） curated by Skip Thompson.