純量曲率

在黎曼幾何中，純量曲率（Scalar curvature）或里奇數量（Ricci scalar）是一個黎曼流形最簡單的曲率不變量。對黎曼流形的每一點，純量曲率是由該點附近的內蘊幾何確定的一個實數。

在 2 維純量曲率完全確定了黎曼流形的曲率；當維數 ≥ 3，曲率比純量曲率含有更多的資訊。參見黎曼流形的曲率中完整的討論。

純量曲率一般記為 S（其它記法有 Sc, R），定義為關於度量的里奇曲率張量的跡：

S={\mbox{tr}}_{g}\,\operatorname {Ric} \ .

這個跡和度量相關，因為里奇張量是一個 (0,2) 型張量；必須將指標上升得到一個 (1,1) 型張量才能取跡。在局部坐標中我們可以寫成

S=g^{ij}R_{ij}\ ,

這裏

\operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}\ .

給了一個坐標系與一個度量張量，純量曲率可以表示為：

S=g^{ab}(\Gamma _{ab,c}^{c}-\Gamma _{ac,b}^{c}+\Gamma _{ab}^{c}\Gamma _{cd}^{d}-\Gamma _{ac}^{d}\Gamma _{bd}^{c})

這裏 $\Gamma _{bc}^{a}$ 是度量的克里斯多福符號。

不像黎曼曲率張量或里奇張量可以對任何仿射聯絡自然地定義，純量曲率只在黎曼幾何存在；其定義與度量密不可分。

當純量曲率在一點為正，位於這一點的一個小球的體積比歐幾里得空間中同樣測地半徑的球要小；另一方面，當純量曲率在一點為負，小球的體積要大於歐幾里德空間中小球的面積。

為了刻畫一個 n 維黎曼流形 $(M,g)$ 點 p 的純量曲率的準確值，上面的比較可以更加量化。即：對足夠小的 ε，流形上半徑 ε 小球的 n 維體積與相應的歐幾里得空間中小球體積之比為

{\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})\ .

從而，這個比的二階導數在 ε = 0 的取值，恰好是純量曲率的負數除以 3(n + 2)。

這些球的半徑是半徑 $\epsilon$ 的 n-1 維球面，它們的面積滿足下面等式：

{\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})\ .

在 2 維，純量曲率恰好是高斯曲率的 2 倍：

S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\ ,

這裏 $\rho _{1},\,\rho _{2}$ 是曲面的主曲率半徑。譬如，半徑為 r 球面的純量曲率等於 $2/r^{2}\,$ 。更一般的，半徑 r 的 n 維球面的純量曲率為 $n(n-1)/r^{2}\,$ 。

2 維黎曼張量只有一個獨立分量，可以簡單地用純量曲率和度量面積形式表示出來。在任何坐標系下，我們有

2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}]\ .

在使用張量指標記法的作者中，字母 R 通常表示三種不同的東西：

這三個由它們的指標數目區分開：黎曼張量有四個指標，里奇張量有兩個指標，里奇純量曲率沒有指標。不使用指標記法的一般將 R 保留為全黎曼曲率張量的記號。

直接幾何解釋