主曲率

在微分幾何中，在曲面給定點的兩個主曲率（principal curvatures）衡量了在給定點一個曲面在這一點的不同方向怎樣不同彎曲的程度。

鞍面中在主曲率方向的法平面

在曲面上取一點E，曲面在E點的法線為z軸，過z軸可以有無限多個剖切平面，每個剖切平面與曲面相交，其交線為一條平面曲線，每條平面曲線在E點有一個曲率半徑。不同的剖切平面上的平面曲線在E點的曲率半徑一般是不相等的。這些曲率半徑中，有一個最大和最小的曲率半徑，稱之為主曲率半徑，記作 k₁ 與 k₂，這兩個曲率半徑所在的方向，數學上可以證明是相互垂直的。

這裏一條曲線的曲率由定義是密切圓半徑的倒數。當曲線轉向與平面給定法向量相同方向時，曲率取正值，否則取負值。當曲率取最大與最小值的兩個法平面方向總是垂直的，這是歐拉在1760年的一個結論，稱之為主方向。從現代的觀點來看，這個定理來自譜定理因為它們可以作為對應於高斯映射微分的一個對稱矩陣的本徵向量。對主曲率和主方向的系統研究由達布使用達布標架完成。

兩個主曲率的乘積 k₁k₂ 是高斯曲率 K，而平均值 (k₁+k₂)/2 是平均曲率 H。

如果在每一點至少有一個主曲率是零，則高斯曲率是零，這種曲面是可展曲面。對極小曲面，平均曲率在每一點是零。

正式定義

設 M 是歐幾里得空間中一個曲面，第二基本形式為 II(X,Y)。固定一點 p∈M，以及在 p 點切空間的一個標準正交基 X₁、X₂。則主曲率是如下對稱矩陣的本徵值

${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}$

如果選取 X₁ 與 X₂ 使得矩陣 [II_ij] 是一個對角矩陣，則它們稱為主方向。如果曲面已定向，則通常要求 (X₁, X₂) 與給定的定向相同。

若沒有一個特定的標準正交基，主曲率是形算子的本徵值，而主方向是本徵向量。

推廣

對高維歐幾里得空間中超曲面，主曲率可類似地定義。主曲率是第二基本形式在一個標準正交基下矩陣 II(X_i,X_j) 的本徵值，主方向是對應的本徵向量。

類似地，如果 M 是黎曼流形 N 中一個超曲面，則主曲率是其第二基本形式的本徵值。如果 k₁, ..., k_n 是點 p ∈ M 的 n 個主曲率而 X₁, ..., X_n 是對應的標準正交本徵向量（主方向），則 M 在 p 的截面曲率為

${\displaystyle K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}.\,}$

曲面上點的分類

• 在橢圓型（elliptical）點，兩個主曲率有同樣的符號，而曲面是局部凸的。
  • 在臍點（umbilic point），兩個主曲率相等而任意切向量可作為主方向。這通常出現於離散點。
• 在雙曲型（hyperbolic）點，主曲率的符號相反，曲面局部是鞍形。
• 在拋物型（parabolic）點，一個主曲率是零。拋物型點通常位於分離橢圓型點與雙曲型點的一條曲線上。
  • 在平臍點（flat umbilic point）兩個主曲率都是零。一般曲面沒有平臍點，猴鞍面具有離散平臍點。

曲率線

曲率線（lines of curvature 或 curvature lines）是總與一個主方向相切的曲線，它們是主方向場的積分曲線。過每個非臍點有兩條曲率線，它們相交成直角。

在一個臍點附近曲率線有三類佈局：星形（star）、檸檬形（lemon）以及檬星形（monstar，源于 lemon-star）^[1]。為了紀念達布，這些點也稱為達布臍點，他最先在他1896年的課程（Vol. 4, p455）中做了系統性研究。

• 臍點附近的曲率線佈局
• 
  檸檬形
• 
  檬星形
• 
  星形

在這些佈局中，紅色曲線是一類主方向的曲率線，而藍色曲線是另一類的。

當一條曲率線對同一個主曲率有一個局部極值，則此曲線有一個脊點（ridge point）。曲面上曲線的脊點稱為脊。脊曲線經過臍點。對星形佈局有 3 條或 1 條脊線經過臍點，對 monstar 與 lemon 只有一條脊線經過^[2]。

參考文獻

• Darboux, Gaston. Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I, Volume II, Volume III, Volume IV. Gauthier-Villars. 1887,1889,1896. 請檢查|date=中的日期值 (幫助); 外部連結存在於|title= (幫助)
• Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7.
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
• Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.

1. Berry, M V, & Hannay, J H, 'Umbilic points on Gaussian random surfaces', J.Phys.A 10, 1977, 1809-21, .
2. Porteous, I. R., Geometric Differentiation, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-39063-X

外部連結

• Historical Comments on Monge's Ellipsoid and the Configuration of Lines of Curvature on Surfaces Immersed in R³Archive.is的存檔，存檔日期2012-12-15