數字和

一個整數的數字和，是將一數在特定記數系統中的每一個位數相加起來所得的和。例如，84001在十進制中的數字和是13，即${\displaystyle {{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13}$。

這個概念與數字根有密切的關係，但並不相同，數字根是把所有數字相加起來所得的和，然後再把這個和的所有數字相加起來，又得到一個和，重複這個步驟，直到最終只剩下一個數字，這個數字便稱為數字根。數字和可以是任意正整數的值，而數字根只能是0到9。

在十進制中，數字和可以用來判斷一個數是否能被3或9整除。如果數字和能被3或9整除，則原來的數也能被3或9整除。可參照去九法、整除規則。

定義

任何自然數都可以在底數為b下的進位制中表示，其中b的絕對值必須大於一。若有一自然數n，其於b進位制中表示為${\textstyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}d_{0}}$，則其數字和（或位數和）${\textstyle F_{b}}$為將自然數映射到自然數的函數${\textstyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$，其可以定義為：

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

其中${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$，代表自然數n在底數為b的進位制表示時的位數個數。而每個位數${\textstyle d_{i}}$又可以表示成：

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

舉例來說，84001在十進制中的數字和可以表示為${\displaystyle F_{10}(84001)=\,}$${\displaystyle {{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13}$

此外，一個足夠大的數在較大底數進位制下的數字和不會小於較小底數進位制下的數字和，即兩底數${\displaystyle b_{1}}$、 ${\displaystyle b_{2}}$，若${\displaystyle 2\leq b_{1}\leq b_{2}}$，且有一個足夠大的自然數n，則滿足不等式${\textstyle F_{b_{1}}(n)\leq F_{b_{2}}(n)}$^[1]。

一般單個位的數（如十進制的0至9）其數字和即為自己本身。十進制下前幾個非負整數的數字和為 ：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...（OEIS數列A007953）

彼得·波爾文（英語：Peter_Borwein）和喬納森·波爾文（英語：Jonathan Borwein）使用此數列的母函數導出了許多快速收斂之有理和超越級數。^[2]

擴展到負整數

負整數的數字和目前沒有一個廣泛被接受的定義。一般可以透過負整數的有符號數表示法（英語：Signed-digit_representation）來將自然數的數字和推廣到負數。

另一種適用於負數的數字和為僅將最高位數代負號，其他位數照樣相加的數字和，例如負一百五十八（${\displaystyle -158}$）可以拆成${\displaystyle -1,\,5,\,8}$，對應的數字和為${\displaystyle {{{-{1}}+{5}}+{8}}=12}$^[3]，這個數列為數字差（OEIS數列A274580）的相反數。

用途

數字和雖與數字根不同，但皆可以用於3和9的整除判斷^[4]。數字和與數字根不同之處在於，數字根必為0至9之間的自然數，而數字和可以是任意整數。兩者用於判斷3或9的倍數的方法皆是若一數的數字和或數字根能被3或9整除，則其為3或9的倍數^[4]。特別地，對於判定9的倍數，此規則稱為「九的規則」，為去九法的基礎^[5]。

在早期的電腦中，亦常使用數字和作為檢查計算機計算結果的一種常見方式^[6]。此外數字和亦可以作為生成隨機數的一種方式。假設所使用的數表中每個數字都是隨機的，則根據中心極限定理，這些數的數字和可以視為具有接近高斯分佈的隨機分佈。而早期在計算機還沒被發明、使用手工計算時Edgeworth曾於1888年建議可以透過取對數的數學用表中50位數字之和作為隨機數生成的一種方式^[7]。

列表

下表列出了數字和為特定數的自然數：

數字和	數	OEIS	哈沙德數	素數
1	1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, …	A011557
2	2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, …	A052216	A069537	2,11,101
3	3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, …	A052217
4	4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, …	A052218	A063997	A062339
5	5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203,	A052219	A069540	A062341
6	6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, …	A052220	A062768
7	7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, …	A052221	A063416	A062337
8	8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, …	A052222	A069543	A062343
9	9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, …	A052223
10	19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, …	A052224	A218292	A107579
11	29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137, 146, 155, …	A166311	A216995	A106754
12	39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, …	A235151

數字和為特定數的最小自然數，即上表中，每行的第一個數構成的數列，為清除重複項後的月三角數（lunar triangular numbers）^[8]：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …（OEIS數列A051885）

相關數列

數字和可以視為將一數的每個位數視為單一元素並進行統計運算的操作，其他類似地如數字平方和、數字平均（即一數所有位數的平均值， A061383中則記載了數字平均為整數的數）等。

數字差

一個整數的數字差，是將一數在特定記數系統中的每一個位數兩兩間插入減號得到的結果。例如，84001在十進制的數字差是${\displaystyle {{{{{8}-{4}}-{0}}-{0}}-{1}}=3}$。

在十進制中，從1開始的前幾個數的數字差為：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1.... （OEIS數列A274580）

部分數字數字差為零。數字差為零意味着最高位數等於非最高位數的和，這些數包括：

0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 110, 202, 211, 220.... （OEIS數列A193772）

在趣味數學中，數字差的相反數可以視為負整數數字和的一種定義。在這種定義下，有一類數為數字和平方與自身的和大於零的數，雖然所有非負整數皆有此種性質（OEIS數列A118881），然而負整數中只有26個數有此種性質，在部份非正式場合中被稱為殭屍數^[3]，其被描述為「如殭屍般起死回生（轉為非負整數）的數」^[3]。在十進制中，所有擁有此性值的數，共26個，列舉如下：

-2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -15, -16, -17, -18, -19, -28, -29, -159, -168, -169, -178, -179, -187, -188, -189, -197, -198, -199。（OEIS數列A328933）

數字積

一個整數的數字積，是將一數在特定記數系統中的每一個位數相乘起來所得的積。例如，841在十進制中的數字積是${\displaystyle {{{8}\times {4}}\times {1}}=32}$。在十進制中，從零開始的前幾個數的數字積為：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8...（OEIS數列A007954）

數字冪

一個整數的數字冪，是將一數在特定記數系統中的每一個位數${\displaystyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}}$寫成指數塔${\displaystyle d_{k-1}^{d_{k-2}^{\cdot ^{\cdot ^{d_{2}^{d_{1}}}}}}}$的結果。例如，324在十進制中的數字冪是${\displaystyle {{3}^{{2}^{4}}}=43046721}$。

在十進制中，從1開始的前幾個數的數字冪為：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683.... （OEIS數列A256229）

這個數列有另一種可能的定義，如果是左結合的數字冪，則會在三位數開始出現不同的結果，例如324的左結合數字冪是${\displaystyle {{\left({{3}^{2}}\right)}^{4}}=6561}$^[9]。

數字交錯和

一個整數的數字交錯和為將整數的位數以a - b + c - d + ...的形式交錯地相加或相減的結果。例如，841在十進制中的數字交錯和是${\displaystyle {{{8}-{4}}+{1}}=5}$。在十進制中，從零開始的前幾個自然數的數字交錯和為：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1...（OEIS數列A225693）

若一數的數字交錯和為0或11的倍數，則該數能被11整除。這個特性可以用於判別1數是否能被11整除^[4][10]。

數字平方和

一個整數的數字平方和，是將一數在特定記數系統中的每一個位數平方後求和的結果。例如，841在十進制中的數字平方和是${\displaystyle {{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{1}^{2}}}=81}$。在十進制中，從零開始的前幾個整數之數字平方和為：

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65...（OEIS數列A003132）

其與一般的數字和有不太相同的特性：對於一數的數字和，並不斷地將結果計算數字和最終會結束在一個數，該數稱為數字根；而對於一數的數字平方和，並不斷地將結果計算數字平方和，未必能結束在一個數。對於數字平方和無法結束在一個數的數，稱為悲傷數（sad numbers）或不快樂數（unhappy number）^[11] ，反之，稱為快樂數^[12]。

參見

• 哈沙德數：可被數字和整除的整數。
• 快樂數：不斷地做數字平方和最終會得到1的整數。

參考文獻

1. Bush, L. E., An asymptotic formula for the average sum of the digits of integers, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1940, 47 (3): 154–156, JSTOR 2304217, doi:10.2307/2304217.
2. Borwein, J. M.; Borwein, P. B., Strange series and high precision fraud (PDF), American Mathematical Monthly, 1992, 99 (7): 622–640 [2020-03-14], JSTOR 2324993, doi:10.2307/2324993, （原始內容存檔 (PDF)於2016-05-09）.
3. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A328933 (Zombie Numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. Stu Savory. Divisibility by prime numbers under 50. 2003 [2020-03-14]. （原始內容存檔於2019-09-16）.
5. Weisstein, Eric W. (編). Casting Out Nines. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-03-14] （英語）.
6. Bloch, R. M.; Campbell, R. V. D.; Ellis, M., The Logical Design of the Raytheon Computer, Mathematical Tables and Other Aids to Computation (American Mathematical Society), 1948, 3 (24): 286–295, JSTOR 2002859, doi:10.2307/2002859.
7. Edgeworth, F. Y., The Mathematical Theory of Banking (PDF), Journal of the Royal Statistical Society, 1888, 51 (1): 113–127, （原始內容 (PDF)存檔於2006-09-13）.
8. David Applegate and Marc LeBrun and N. J. A. Sloane, Dismal Arithmetic, arXiv, July 5, 2011
9. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A075877. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
10. D. Sharpe and R. Webster. Reversing digits: divisibility by 27, 81, and 121. Mathematical Spectrum. 2012–2013,. Vol. 45 (Issue 2): 69–71.
11. Weisstein, Eric W. (編). Sad Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-09-16]. （原始內容存檔於2009-10-11） （英語）.
12. Guy, Richard. Unsolved Problems in Number Theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Digit Sum. MathWorld.
• 整數數列線上大全中的數列（OEIS數列A007953）