收斂半徑

收斂半徑是數學分析中與冪級數有關的概念。一個冪級數的收斂半徑是一個非負的擴展實數（包括無窮大）。收斂半徑表示冪級數收斂的範圍。在收斂半徑內的緊集上，冪級數對應的函數一致收斂，並且冪級數就是此函數展開得到的泰勒級數。但是，在收斂半徑上冪級數的斂散性是不確定的。

定義

定義冪級數f 為：${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},}$。其中常數a是收斂圓盤的中心，c_n為第n個複係數，z為變量。

收斂半徑r是一個非負的實數或無窮大（${\displaystyle \scriptstyle \infty }$），使得在${\displaystyle |z-a|<r}$時冪級數收斂，在${\displaystyle |z-a|>r}$時冪級數發散。

具體來說，當z和a足夠接近時，冪級數就會收斂，反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在 |z - a| = r的收斂圓上，冪級數的斂散性是不確定的：對某些z可能收斂，對其它的則發散。如果冪級數對所有複數z都收斂，那麼說收斂半徑是無窮大。

收斂半徑的計算

根據達朗貝爾審斂法，收斂半徑${\displaystyle R}$滿足：如果冪級數${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$滿足${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\vert {c_{n+1} \over c_{n}}\right\vert =\rho }$，則：

${\displaystyle \rho \neq 0}$時，${\displaystyle R={1 \over \rho }}$。

${\displaystyle \rho =0}$時，${\displaystyle R=+\infty }$。

${\displaystyle \rho =+\infty }$時，${\displaystyle R=0}$。

根據根值審斂法，則有柯西-阿達馬公式：

${\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$

或者${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$。

複分析中的收斂半徑

將一個收斂半徑是正數的冪級數的變量取為複數，就可以定義一個全純函數。收斂半徑可以被如下定理刻畫：

一個中心為a的冪級數f 的收斂半徑R 等於a與離a 最近的冪級數無定義點的距離。到a 的距離嚴格小於R 的所有點組成的集合稱為收斂圓盤。

最近點的取法是在整個複平面中，而不僅僅是在實軸上，即使中心和係數都是實數時也是如此。例如：函數

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

沒有複根。它在零處的泰勒展開為：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}}$

運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為1。與此相應的，函數${\displaystyle f(z)}$在±i存在奇點，其與原點0的距離是1。

簡單的例子

三角函數中的反正切函數可以被表達成冪級數：

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

運用審斂法可以知道收斂半徑為1。

一個更複雜的例子

考慮如下冪級數展開：

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

其中有理數B_n是所謂的伯努利數。對於上述冪級數，很難運用審斂法來計算收斂半徑，但運用上面提到的復域中的準則就可以很快得到結果：當z=0時，函數沒有奇性，因為是可去奇點。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值，即使得

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

的複數z。設z = x + iy，那麼

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,}$

要使之等於1，則虛部必須為零。於是有${\displaystyle y=k\pi }$，其中${\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0}$。同時得到${\displaystyle x=0}$。回代後發現${\displaystyle k}$只能為偶數，於是使得分母為零的z為${\displaystyle 2k\pi i}$的形式，其中${\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0}$。

離原點最近距離為${\displaystyle 2\pi }$，於是收斂半徑為${\displaystyle 2\pi }$。

收斂圓上的斂散性

如果冪級數在a附近可展，並且收斂半徑為r，那麼所有滿足 |z − a| = r的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂。

例1:函數ƒ(z) = (1 − z)⁻¹在z = 0處展開的冪級數收斂半徑為1，並在收斂圓上的所有點處發散。

例2:函數g(z) = ln(1 − z)在z = 0處展開的冪級數收斂半徑為1，在z = 1處發散但除此之外，在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函數ƒ(z)是 -g(z)的複導數。

例3:冪級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

的收斂半徑是1並在整個收斂圓上收斂。設h(z)是這個級數對應的函數，那麼h(z)是例2中的g(z)除以z後的導數。h(z)是雙對數函數。

例4:冪級數

${\displaystyle P(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}\cdot n}}(z^{2^{n-1}}+\cdots +z^{2^{n}-1})}$

的收斂半徑是1並在整個收斂圓上一致收斂，但是並不在收斂圓上絕對收斂^[1]。

收斂速率

主條目：收斂速率

將下列函數在x = 0處展開：

${\displaystyle f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ \forall x}$

可以看到收斂半徑為${\displaystyle \scriptstyle \infty }$，也就是說冪級數對所有的複數變量值收斂。但是，在實際操作中，人們常常更關心函數值的精確度。展開的項數和展開點與變量的取值都會影響結果的準確度。例如，要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效數字，只需要計算級數的前兩項。然而，在x = 1時，要得到相同的精確度，就要計算前5項。對於ƒ(10)，需要18項，對於ƒ(100)則需要141項。

文中提及的曲線的圖例：紅、藍線為逼近線，白圈為收斂圓。

可以看出，越靠近中心，收斂的速度就越快，反之則收斂速率降低。

圖例

考慮亞純函數${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$，對應的模長二元函數圖像見右。函數在${\displaystyle z=\pm i}$處有極點。

由於最近的奇點與原點距離為1，收斂半徑為1。函數在z = 0處的泰勒級數收斂若且唯若 ${\displaystyle |z|<1}$。

狄利克雷級數的收斂度規

與收斂半徑類似的一個概念是狄利克雷級數的收斂度規，也就是使得級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}}$收斂的最小的s，其只依賴於數列a_n。

參見

• 無窮級數
• 冪級數
• 阿貝爾定理
• 阿貝爾型定理和陶伯型定理
• 哈代-李特爾伍德圓法
• 收斂度規

參考來源

1. Sierpiński, Wacław, O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka 29, 1918, 29: 263–266

• Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8
• 幂级数. [2008-09-10]. （原始內容存檔於2008-11-21）.
• 毕节学院复变函数教程. [2008-09-10].^{[永久失效連結]}

外部連結

• （英文）收敛半径是什么？. [2008-09-10]. （原始內容存檔於2008-06-18）.