Floyd-Warshall演算法(英語:Floyd-Warshall algorithm),中文亦稱弗洛伊德演算法佛洛依德演算法[1],是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法[2],可以正確處理有向圖或負權(但不可存在負權迴路)的最短路徑問題,同時也被用於計算有向圖的遞移閉包[3]

Quick Facts Floyd-Warshall演算法, 概況 ...
Floyd-Warshall演算法
概況
類別全域最短路徑問題(適用於帶權圖)
資料結構
複雜度
平均時間複雜度
最壞時間複雜度
最佳時間複雜度
空間複雜度
相關變數的定義
點集
Close

Floyd-Warshall演算法的時間複雜度[4]空間複雜度,其中是點集。

原理

Floyd-Warshall演算法的原理是動態規劃[5]

為從的只以集合中的節點為中間節點的最短路徑的長度。

  1. 若最短路徑經過點k,則
  2. 若最短路徑不經過點k,則

因此,

在實際演算法中,為了節約空間,可以直接在原來空間上進行迭代,這樣空間可降至二維。

演算法描述

Floyd-Warshall演算法的偽代碼描述如下:

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

其中dist[i][j]表示由點到點的代價,當其為 ∞ 表示兩點之間沒有任何連接。

使用動態規劃的演算法

實現

Floyd演算法在不同的程式語言中均有大量的實現方法:

參考來源

參見

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