幸運數

幸運數是經由類似愛拉托散尼篩法的演算法後留下的整數集合。愛拉托散尼篩法是用來產生質數的演算法，幸運數用的篩法與其類似，但是是依據整數在剩下數字數列中的位置來判斷^[1]。

幸運數是在1956年在Gardiner, Lazarus、尼古拉斯·梅特羅波利斯以及斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆所著的論文中提到了。他們在同一篇論文中也提到了另一個篩「Josephus Flavius之篩」^[2]，原因是該篩法和約瑟夫斯問題的計數遊戲很類似。

幸運數的一些性質和質數類似，例如也有類似質數定理的漸近特性，有個版本的哥德巴赫猜想是針對幸運數的擴展。有無限多個幸運數。孿生質數和孿生幸運數出現的頻率也相當。不過，若L_n代表第n個幸運數，p_n是第n個質數，則當n夠大時，L_n > p_n^[3]。

因為幸運數和質數的一些類似性質，有些數學家認為用其他的篩法也可以產出有類似性質的整數數列，不過有關此一猜想，目前還沒有足夠的理論基礎。

篩法

示明篩選幸運數過程的動畫，其中紅色的數字為幸運數。

由一組由1開始的數列為例：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,...

先將所有偶數刪去，只留下奇數：

1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,...

然後把數列中的第${\displaystyle 2}$個數字(設該數字為${\displaystyle x}$)的倍數對應的數刪除，即把所有第${\displaystyle nx,x\in \mathbb {Z^{+}} }$個數刪除，例如上述例子中，第${\displaystyle 2}$數字是${\displaystyle 3}$，所以刪去所有第${\displaystyle 3n}$個數：

1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,...

新數列的第${\displaystyle 3}$項(每次都加上${\displaystyle 1}$)為${\displaystyle 7}$，因此將新數列的第${\displaystyle 7n}$個數刪除：

1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,...

若一直重複上述的步驟，最後剩下的數就是幸運數 A000959:

1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99......

幸運質數

幸運質數是既是質數又是幸運數的數。

最小的幾個幸運質數為 A031157： 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127……

目前猜想有無窮個幸運質數^[4]。

參考資料

1. Weisstein, Eric W. Lucky Number. mathworld.wolfram.com. [2020-08-11] （英語）.
2. Gardiner, Verna; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. On certain sequences of integers defined by sieves. Mathematics Magazine. 1956, 29 (3): 117–122. ISSN 0025-570X. JSTOR 3029719. Zbl 0071.27002. doi:10.2307/3029719.
3. Hawkins, D.; Briggs, W.E. The lucky number theorem. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 81–84,277–280. ISSN 0025-570X. JSTOR 3029213. Zbl 0084.04202. doi:10.2307/3029213.
4. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A031157 (Numbers that are both lucky and prime). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.