概形論術語

這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

點

一個概形 ${\displaystyle S}$ 是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「${\displaystyle S}$ 的點」具有三重涵義：

• 拓撲空間意義下的點。
• ${\displaystyle T}$-值點：對任一概形 ${\displaystyle T}$，一個 ${\displaystyle T}$-值點是指一個態射 ${\displaystyle T\to S}$。
• 幾何點：當 ${\displaystyle S}$ 定義在一個域 ${\displaystyle K}$ 上時（換言之 ${\displaystyle S}$ 是 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$-概形），一個幾何點乃是一個 ${\displaystyle \mathrm {Spec} ({\overline {K}})}$-值點，其中 ${\displaystyle {\overline {K}}}$ 表 ${\displaystyle K}$ 的代數閉包。

幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形 ${\displaystyle T}$ 與所有 ${\displaystyle T}$-值點，可以將概形 ${\displaystyle S}$ 理解為相應的可表函子 ${\displaystyle h_{S}}$，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

纖維

在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的纖維有三重涵義：

• 一個點（拓撲意義下）的逆像。
• 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。
• 幾何纖維：設 ${\displaystyle S,S'}$ 為 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$-概形（${\displaystyle K}$ 為域），${\displaystyle f:S\to S'}$ 為一 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$-態射，${\displaystyle P:\mathrm {Spec} ({\overline {K}})\to S'}$ 為一幾何點，則 ${\displaystyle P}$ 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 ${\displaystyle S\times _{S}\mathrm {Spec} ({\overline {K}})}$。

概形之性質

概形的大部分性質都是「局部的」，換言之：${\displaystyle X}$ 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 ${\displaystyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$，每個 ${\displaystyle X_{i}}$ 皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。

考慮一概形 ${\displaystyle X}$ 及一組仿射開子概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A_{i}}$ 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。

舉例明之，局部諾特概形是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。

分離概形並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令 ${\displaystyle X:=\bigcup _{i}\mathrm {Spec} A_{i}}$ 為一概形之開覆蓋。

概念	定義	例子	反例
與概形結構相關者
不可約	若一連通概形 ${\displaystyle X}$ （作為拓撲空間）不能表為兩個閉子集的聯集，除非其中一者為 ${\displaystyle X}$，則稱之為不可約概形。利用素理想與仿射概形的點的對應，可知連通概形 ${\displaystyle X}$ 不可約若且唯若每個 ${\displaystyle A_{i}}$ 恰有一個極小素理想。凡諾特概形皆可唯一表示為有限個極大不可約閉子集的聯集，這些閉子集稱為其不可約成份。	仿射空間、射影空間	Spec k[x,y]/(xy) =
既約	環 ${\displaystyle A_{i}}$ 皆為既約環（即：無冪零元素），等價的說法是結構層 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 沒有冪零的局部截面。代數幾何的一大進步是將代數簇推廣為概形，而概形可能是非既約的。	代數簇 （根據定義）	k[x]/(x2)
整	不可約的既約概形稱作整概形。等價的說法是：該概形可由整環的譜覆蓋。嚴格地說，這只在連通概形上才是局部性質。	Spec k[t]/f, f 為不可約多項式	Spec A ⊕ B. (A, B ≠ 0)
正規	若每個 ${\displaystyle A_{i}}$ 都是整閉的，則稱 ${\displaystyle X}$ 為正規概形。	正則概形、帶有理奇點的曲面	帶奇點的曲線
與正則性相關者
正則	若每個 ${\displaystyle A_{i}}$ 都是正則局部環，則稱 ${\displaystyle X}$ 為正則概形。	域上的平滑代數簇	Spec k[x,y]/(x2+x3-y3)=
Cohen-Macaulay	若 ${\displaystyle X}$ 的局部環皆是Cohen-Macaulay環，則稱 ${\displaystyle X}$ 為 Cohen-Macaulay 概形。	正則概形、 Spec k[x,y]/(xy)
與「大小」相關者
局部諾特	每個 ${\displaystyle A_{i}}$ 皆為諾特環。如果此外更要求該覆蓋為有限覆蓋，則該概形稱為諾特概形。	古典代數幾何的大部分對象	${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$
鏈	若 ${\displaystyle X}$ 的任兩個不可約閉子概形 ${\displaystyle Y\subset Z}$ 之間的極大鏈都有相同長度，則稱 ${\displaystyle X}$ 為鏈概形，這在局部上對應於鏈環。整鏈概形的維度是局部性質。	代數幾何的大部分對象	見條目鏈環中的反例

態射之性質

格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$，所以任何概形可以唯一地理解為 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$-概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令

${\displaystyle f:Y\to X}$

為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋 ${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$ 使得 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$ 上的限制帶有該性質，則 ${\displaystyle f}$ 本身也帶該性質。

與拓撲結構相關的概念

若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

若 ${\displaystyle f(Y)}$ 在 ${\displaystyle X}$ 中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。

開浸入與閉浸入

• 開浸入：若 ${\displaystyle f}$ 同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。
• 閉浸入：若 ${\displaystyle f}$ 同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃：${\displaystyle f:Y\to X}$ 是閉浸入，若且唯若 ${\displaystyle f}$ 在拓撲空間的意義下是個閉浸入（${\displaystyle f:Y\to f(Y)}$ 是同胚，且 ${\displaystyle f(Y)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 中的閉集），而且 ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ 是滿射。
• 浸入：閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。

仿射態射與射影態射

若 ${\displaystyle X}$ 的仿射開子概形對 ${\displaystyle f}$ 的逆像仍為仿射概形，則稱 ${\displaystyle f}$ 為仿射態射。用較炫的說法：仿射態射係來自 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-代數的整體 ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$ 構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。

射影態射的定義類似，此時對應到分次 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-代數的整體 ${\displaystyle \mathbf {Proj} }$ 構造，另一種等價的刻劃是： ${\displaystyle f}$ 是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入 ${\displaystyle Y\to \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times X}$ 及自然投影 ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}\to X}$。

分離態射與真態射

主條目：分離態射

主條目：真態射

• 分離態射：使得對角態射 ${\displaystyle \Delta _{Y/X}:Y\to Y\times _{X}Y}$ 為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。
• 真態射：即滿足下列性質的態射
  • 分離態射
  • 泛閉（即：任一閉浸入 ${\displaystyle s:Z\to X}$ 在對 ${\displaystyle f}$ 取纖維積後仍為閉浸入）
  • 有限型

有限型、擬有限與有限態射

若 ${\displaystyle X}$ 有一組仿射開覆蓋 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}}$，使得態射 ${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})\to \mathrm {Spec} \,A_{i}}$ 對應到 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{i}\to \mathrm {Spec} \,A_{i}}$，使得 ${\displaystyle B_{i}}$ 是有限 ${\displaystyle A_{i}}$-模，則稱此態射為有限態射。

若將上述條件改為：${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})}$ 有一組仿射開覆蓋 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}}$ ，使得 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}}$ 是有限生成的 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}}$-代數，則稱此態射為局部有限型態射；若上述開覆蓋 ${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})=\bigcup _{j}\mathrm {Spec} \,B_{ij}}$ 可取為有限的，則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

若 ${\displaystyle f}$ 的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。

平坦態射

若 ${\displaystyle f}$ 在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為平坦態射。視此態射為一族以 ${\displaystyle X}$ 的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。

非分歧態射與平展態射

主條目：平展態射

對一點 ${\displaystyle y\in Y}$，考慮相應的環同態：

${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}.}$

令 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ 的極大理想，並設

${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$

若對所有 ${\displaystyle y\in Y}$，${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ 的極大理想，且導出的映射 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$ 是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為非分歧態射。

平坦的非分歧態射稱為平展態射，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是微分幾何中平展態射的定義。

平滑態射

主條目：平滑態射

平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義：

• ${\displaystyle f:Y\to X}$ 是有限型平坦態射，且 ${\displaystyle \Omega _{Y/X}^{1}}$ 是局部自由 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-模，其秩為 ${\displaystyle \dim Y-\dim X}$。
• ${\displaystyle f:Y\to X}$ 可分解為某個平展態射 ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} _{X}^{n}}$ 及自然投影 ${\displaystyle p:\mathbb {A} _{X}^{n}\to X}$ 之合成。
• 形式判準：對任何交換環 ${\displaystyle A}$ 及其理想 ${\displaystyle I}$，並滿足 ${\displaystyle I^{2}=(0)}$，則 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A),Y)\to \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A/I),Y)}$ 是滿射。

外部連結

• Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong

文獻

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）. 引文使用過時參數coauthors (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-03-06）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2017-01-12）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 11: 5–167 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-03-03）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1963, 17: 5–91 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-04-19）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1964, 20: 5–259 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-03-04）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1965, 24: 5–231 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-03-03）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1966, 28: 5–255 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-03-03）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1967, 32: 5–361 [2022-01-03]. （原始內容存檔於2016-03-03）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)