大六角二十四面體

在幾何學中，大六角二十四面體是一種星形多面體，由24個互相相交的鳶形組成，其索引編號為DU₁₄。大六角二十四面體的對偶多面體為大立方截半立方體^[1]，與其對偶不同之處在於，其對偶有6個非凸多邊形面^[2]，而大六角二十四面體的面全部都是凸多邊形。

大六角二十四面體

類別	均勻多面體對偶 星形多面體
對偶多面體	大立方截半立方體
識別
名稱	大六角二十四面體
參考索引	DU14
性質
面	24
邊	48
頂點	20
歐拉特徵數	F=24, E=48, V=20 （χ=-4）
虧格	3
組成與佈局
面的種類	24個鳶形
頂點佈局 （英語：Vertex_configuration）	兩種頂點 3個鳶形的公共頂點 4個鳶形的公共頂點
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], *432
特性
等面、非凸
圖像
大立方截半立方體 （對偶多面體）
閱 論 編

性質

大六角二十四面體共有24個面、48條邊和20個頂點^[3]，是一種二十四面體。

面的組成

大六角二十四面體由24個全等的鳶形組成。每個鳶形皆露出兩個頓角兩個部分，其餘皆隱藏於該立體的內部。露在該立體外部的部分如下圖，以藍色表示，其中黑線代表等腰頓角三角形彼此互相相交的位置：

頂角性質

大六角二十四面體有三種頂角，一種是由4個鳶形面構成的四面角，為最外側的向外尖角，對應對偶多面體大立方截半立方體中的正方形面，共有6個；另一種是由3個面構成的三面角，為較內側、未隱沒於圖形內部的向外尖角，對應對偶多面體中的正三角形面，共有8個；還有一種是由8個面構成的八面角，其8個面互相相交，其頂點圖為施萊夫利符號計為{8/3}的八角星，且引麼於整個立體圖形的內側，對應對偶多面體中的八角星面，整個立體中共有6個這樣的頂點^[3][4][5]。

頂點座標

幾何中心位於原點且經過對偶變換後的像邊長為單位長的大六角二十四面體，其頂點座標為^[6]：

${\displaystyle (0,0,\pm (2-{\sqrt {2}}))}$、

${\displaystyle (\pm (2-{\sqrt {2}}),0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm (2-{\sqrt {2}}),0)}$、

${\displaystyle (0,0,\pm {\sqrt {2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\sqrt {2}},0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm {\sqrt {2}},0)}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}},\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}},\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}})}$。

二面角

大六角二十四面體的二面角為^[7]：

${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {7-4{\sqrt {2}}}{17}})\approx 1.64988733\approx 94.5315^{\circ }}$

對偶多面體

大六角二十四面體的對偶多面體。

主條目：大立方截半立方體

大六角二十四面體的對偶多面體是大立方截半立方體^[8]，其在非凸均勻多面體被編號為U₁₄。其在威佐夫符號中可以用3 4 | ⁴/₃或4 ³/₂ | 4表示。

相關多面體

大六角二十四面體與反平行四邊形二十四面體幾何中心重合可以組成一個大鳶形二十四面體^[9]。

大六角二十四面體

反平行四邊形二十四面體

大鳶形二十四面體

對偶複合體

大六角二十四面體與其對偶的複合體為複合大立方截半立方體大六角二十四面體。其共有44個面、96條邊和44個頂點，其尤拉示性數為-8，虧格為5，具有6個非凸面^[10]。

參見

• 大立方截半立方體

參考文獻

1. Eric W. Weisstein. Great Hexacronic Icositetrahedron is The Dual of the Great Cubicuboctahedron. 密歇根州立大學圖書館. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2014-07-11）.
2. great cubicuboctahedron, dual of great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-26）.
3. great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-28）.
4. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Cubicuboctahedron. dmccooey.com. [2017-06-28]. （原始內容存檔於2016-03-24）.
5. H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
6. Data of Great Hexacronic Icositetrahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-09-01）.
7. Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-24）.
8. Weisstein, Eric W. (編). Great Hexacronic Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
9. Great Hexacronic Icositetrahedron. software3d.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2015-11-21）.
10. compound of great cubicuboctahedron and great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2015-09-06）.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 大六角二十四面體. MathWorld.