塞邁雷迪定理

在算術組合學（英語：arithmetic combinatorics）中，塞邁雷迪定理（英語：Szemerédi's theorem）是個關於自然數集子集中的等差數列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想^[1]：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞邁雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。

定理敍述

若自然數集的子集 A 滿足

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0,}$

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。

定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數 ${\displaystyle \delta \in (0,1],}$都存在正整數

${\displaystyle N=N(k,\delta )}$

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。

定義 r_k(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

${\displaystyle r_{k}(N)=o(N).}$

換言之，r_k(N) 隨 N 的增長慢於線性。

歷史

范德瓦爾登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。

塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎薩萊姆-斯賓塞集（英語：Salem-Spencer set）（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特^[2] 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明了 k = 3 的結論。1969 年，塞邁雷迪·安德烈^[3]利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特^[4]利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。

塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。^[5] 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning")^[6]. 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒爾·菲爾斯滕貝格利用遍歷理論給出的證明^[7][8]，以及 2001 年高爾斯結合傅里葉分析和組合數學給出的證明^[9]。陶哲軒稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。^[10]

rk(N) 的具體大小

r_k(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

${\displaystyle CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},}$

其中 ${\displaystyle n=\lceil \log k\rceil .}$歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界^[11] ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)^[12]、羅伯特·藍欽（英語：Robert Alexander Rankin）^[13]，以及埃爾金（Michael Elkin) ^[14][15]先前的成果。上界由高爾斯證出。^[9]

對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時，布爾甘^[16][17]、希斯-布朗^[18]、塞邁雷迪^[19]，以及湯姆·桑德斯^[20]依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

${\displaystyle N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq C{\frac {(\log \log N)^{4}}{\log N}}N.}$

兩邊的界限分別由歐布萊恩^[11] 和布魯姆（Thomas Bloom) ^[21] 給出。

當 k = 4 時，本·格林（英語：Ben Green (mathematician)）和陶哲軒^[22][23] 證明了存在 c > 0 使得

${\displaystyle r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}.}$

推廣

希勒爾·菲爾斯滕貝格和伊扎克·卡茨內勒松（英語：Yitzhak Katznelson）利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。^[24] 高爾斯^[25]、沃伊傑赫·勒德爾（英語：Vojtěch Rödl）和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan) ^[26][27] ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和馬蒂亞斯·沙赫特（英語：Mathias Schacht）^[28] ，和陶哲軒^[29]給出了各自的組合學證明。

亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和維塔利·別爾格爾松（英語：Vitaly Bergelson）^[30] 給出定理對多項式列的推廣：若 ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$的上密度為正，且 ${\displaystyle p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)}$為滿足 ${\displaystyle p_{i}(0)=0}$的整值多項式（英語：Integer-valued polynomial），則存在無窮多組 ${\displaystyle u,n\in \mathbb {Z} }$使得對${\displaystyle 1\leq i\leq k}$都有 ${\displaystyle u+p_{i}(n)\in A.}$ 萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。

塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空間。^[31] 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。^[32] 所謂封頂集（英語：Cap set）問題，就是要找出向量空間 ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。

格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. 本·格林（英語：Ben Green (mathematician)）和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（英語：relative) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。大衛·康倫（英語：David Conlon），雅各布·福克斯（英語：Jacob Fox）和趙宇飛^[33] (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。^[34][35]

埃爾德什等差數列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。

參見

• 與等差數列有關的問題（英語：Problems involving arithmetic progressions）
• 遍歷拉姆齊理論（英語：Ergodic Ramsey theory）
• 算術組合學（英語：arithmetic combinatorics）
• 塞邁雷迪正則性引理

參考資料

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延申閱讀

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外部鏈結

• Announcement by Ben Green and Terence Tao （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） – the preprint is available at math.NT/0404188
• Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Ben Green and Terence Tao: Szemerédi's theorem （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） on Scholarpedia
• 埃里克·韋斯坦因. SzemeredisTheorem. MathWorld.
• Grime, James; Hodge, David. 6,000,000: Endre Szemerédi wins the Abel Prize. Numberphile. 布雷迪·哈蘭. 2012 [2019-06-17]. （原始內容存檔於2014-01-09）.