圖蘭·帕爾

圖蘭·帕爾（Turán Pál，匈牙利語發音：[ˈturaːn ˈpaːl]；1910年8月18日－1976年9月26日）^[1]:271[2]，又稱保羅·圖蘭（Paul Turán），匈牙利數學家（英語：List of Hungarian mathematicians），主要研究極值組合（英語：Extremal combinatorics）。其與艾狄胥·帕爾（同為匈牙利數學家）長期合作，在46年間共同發表28篇論文。^[3]

圖蘭·帕爾
出生	(1910-08-18)1910年8月18日  奧匈帝國布達佩斯
逝世	1976年9月26日(1976歲—09—26)（66歲）  匈牙利人民共和國布達佩斯
居住地	匈牙利
國籍	匈牙利
母校	羅蘭大學
知名於	冪和法（英語：Turán's method） 極值圖論（英語：Extremal graph theory）
獎項	科蘇特獎 塞萊·蒂博爾獎（匈牙利語：Szele Tibor-emlékérem）
科學生涯
研究領域	數學
機構	羅蘭大學
博士導師	費耶爾·利波特
博士生	拔拜·拉斯洛（英語：László Babai） 平特茲·亞諾什（英語：János Pintz）

生平

1910年8月18日，圖蘭生於布達佩斯的猶太家庭。^[1]:271圖蘭和艾狄胥同一時期投稿中學數理期刊（英語：KöMaL）（KöMaL）通信解題比賽，兩人皆名列前茅。1933年，圖蘭於皇家匈牙利帕茲馬尼·彼得大學（現羅蘭大學）完成師範學位，並繼續深造，師從費耶爾·利波特，於1935年獲哲學博士。^[1]:271

身為猶太人，圖蘭受大學入學限額（英語：Numerus clausus）所限，有幾年無法取得教席。^[4] 1940年至44年間，其多次被送入匈牙利勞役團（英語：Labour service (Hungary)）。據稱某個法西斯守衛認出圖蘭，並可能保護了他，因為該守衛是工程師，亦曾參加數學競賽，很欣賞圖蘭的數學研究。^[5]

1945年，圖蘭在母校任職副教授，並於1949年升任正教授。^[1]:272圖蘭兩次結婚。1939年，他與科博爾·艾迪特（Kóbor Edit）結婚，育有兒子羅伯特（Róbert）。^[6]1952年，改為與數學家紹什·韋勞（英語：Vera Sós）結婚，育有子女利哲爾吉（György）及陶馬什（Tamás）。^[7]:20

1976年9月26日，圖蘭在布達佩斯因白血病離世，享年66歲。^[8]:8

研究

圖蘭主要研究數論，^[8]:4同時也有研究分析和圖論，其貢獻舉例如下。

數論

1934年，圖蘭簡潔地證明了哈代－拉馬努金定理（英語：Hardy–Ramanujan theorem）。該定理最先由哈代和拉馬努金於1917年證明，其斷言正整數${\displaystyle n}$的互異質因數個數${\displaystyle \omega (n)}$與${\displaystyle \log \log n}$很接近，其中${\displaystyle \log }$為自然對數。圖蘭利用圖蘭篩（英語：Turán sieve），給出了新的簡潔證明。從概率的角度看，他估計了${\displaystyle \omega (n)}$離${\displaystyle \log \log n}$的方差。豪拉斯·加博爾（英語：Gábor Halász (mathematician)）評論說：「該證明的重要性在於其創始了概率數論（英語：probabilistic number theory）。」^[9]:16圖蘭－庫比柳斯不等式（英語：Turán–Kubilius inequality）為上述結果的推廣。^{[8]:5 [9]:16}

圖蘭對質數在等差數列中的分佈感興趣。其稱不同剩餘類中質數分佈參差不齊的情況為「質數賽跑」（英語：prime number race）。^[8]:5圖蘭與斯塔尼斯瓦夫·克納波夫斯基（英語：Stanisław Knapowski）合作，證明了有關切比雪夫偏差（英語：Chebyshev's bias）的結果。圖蘭亦有研究黎曼猜想，並為此發明了冪和法（見下段）。艾狄胥稱圖蘭為不信黎曼猜想的『不信者』、『異教徒』。^[3]:3

分析

圖蘭在分析方面有不少工作與其數論研究密切相關。此外，其證明了圖蘭不等式（英語：Turán's inequalities），描述不同階數的勒壤得多項式的值的大小，又與艾狄胥合作證明了艾狄胥－圖蘭不等式（英語：Erdős–Turán inequality）。

圖論

艾狄胥談及圖蘭：「1940年至1941年間，他開創了圖論中的極值問題這個新領域，該領域現為組合學成長最快的分支。」^[3]:4弗龍克爾·彼得（英語：Péter Frankl）談及圖蘭「因為是猶大人而被捉進集中營。有紙和筆就能做數學，但在營中甚麼也沒有。所以他創造了甚麼都不需要的組合數學。」^[10]

艾狄胥和弗龍克爾提及的領域現稱為極值圖論（英語：extremal graph theory）。圖蘭在該方面最為人熟知的成果為圖蘭定理，其給出頂點數為${\displaystyle n}$且無完全子圖${\displaystyle K_{r+1}}$的圖的邊數最大值。他構造了圖蘭圖（英語：Turán graph）${\displaystyle T_{n,r}}$，其為完全二部圖的推廣，且邊數取得上述定理中的最大值。克瓦里－紹什－圖蘭定理（英語：Kővári–Sós–Turán theorem）給出已知頂點數且無完全二部子圖${\displaystyle K_{t,t}}$的二部圖邊數的上界。此外，圖蘭提出了圖蘭磚廠問題，即求完全二部圖的交叉數。

冪和法

圖蘭發明冪和法（英語：Turán's method），以研究黎曼猜想。^[9]:9–14該方法給出型如

${\displaystyle \max _{\nu =m+1,\dots ,m+n}\left|\sum _{j=1}^{n}b_{j}z_{j}^{\nu }\right|}$

的和的下界，因而得名。^[11]:319

該方法在解析數論、複分析、數值分析、微分方程、超越數論等方面皆有應用。此外，還適用於估計函數在圓盤內的零點數目。^[11]:320

著作

• P. Turán編. Number Theory. Amsterdam: North-Holland Pub. Co. 1970. ISBN 978-0-7204-2037-1 （英語）.
• Paul Turán. On a New Method of Analysis and Its Applications. New York: Wiley-Interscience. 1984. ISBN 978-0-471-89255-7 （英語）.本書有關冪和法。^[11]
• Paul Erdős編. Collected Papers of Paul Turán. Budapest: Akadémiai Kiadó. 1990 [2021-07-16]. ISBN 978-963-05-4298-2. （原始內容存檔於2021-06-30） （英語）.^[12]

榮譽

• 1948年獲選為匈牙利科學院通訊成員（匈牙利語：levelező tag），1953年晉升為正式成員（rendes tag）^[1]:272
• 1948年與1952年兩度獲科蘇特獎^[1]:272
• 1975年獲鮑耶·亞諾什數學會（英語：János Bolyai Mathematical Society）頒發之塞萊·蒂博爾獎（匈牙利語：Szele Tibor-emlékérem）^[1]:272

參考資料

1. Alpár, L. In memory of Paul Turán. Journal of Number Theory (Academic Press). August 1981, 13 (3): 271–78. doi:10.1016/0022-314X(81)90012-3  （英語）.
2. Magyar Életrajzi Lexikon: Turán Pál. Magyar Elektronikus Könyvtár (Hungarian Electronic Library). [21 June 2008]. （原始內容存檔於2021-05-14） （匈牙利語）.
3. Erdős, Paul. Some notes on Turán's mathematical work (PDF). Journal of Approximation Theory. 1980, 29 (1): 2–6 [22 June 2008]. doi:10.1016/0021-9045(80)90133-1. （原始內容存檔 (PDF)於2020-03-26） （英語）.
4. 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Paul Turán, MacTutor數學史檔案 （英語）
5. "An officer was standing nearby, watching us work. When he heard my name, he asked the comrade whether I was a mathematician. It turned out, that the officer, Joshef Winkler, was an engineer. In his youth, he had placed in a mathematical competition; in civilian life he was a proof-reader at the print shop where the periodical of the Third Class of the Academy (Mathematical and Natural sciences) was printed. There he had seen some of my manuscripts." Turán, P. A note of welcome. Journal of Graph Theory. 1977, 1: 7–9 （英語）.
6. Turán, Róbert. Életrajz. 2011 [2021-07-16]. （原始內容存檔於2021-07-15） （匈牙利語）.
7. Babai, László. In and Out of Hungary: Paul Erdős, His Friends, and Times. University of Chicago. 2001 [22 June 2008]. （原始內容 (PostScript)存檔於7 February 2007）.
8. Erdős, Paul. Some personal reminiscences of the mathematical work of Paul Turán (PDF). Acta Arithmetica. 1980, 37: 3–8 [22 June 2008]. ISSN 0065-1036. （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-08）.
9. Halász, G. The number-theoretic work of Paul Turán. Acta Arithmetica. 1980, 37: 9–19 [22 June 2008]. ISSN 0065-1036. （原始內容存檔於28 September 2006）.
10. 數學オリンピック財団. 数学を武器に世界を廻る. www.imojp.org. （原始內容存檔於20 January 2021） （日語）.
11. Tijdeman, R. Book reviews: On a new method of analysis and its applications (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society). April 1986, 14 (2): 318–22 [22 June 2008]. doi:10.1090/S0273-0979-1986-15456-X . （原始內容存檔於2018-05-01） （英語）.
12. Vaughan, R. C. Review of Collected Papers of Paul Turán. Bulletin of the London Mathematical Society. 1991, 23 (2): 193–197 [2021-07-16]. （原始內容存檔於2021-06-27） （英語）.

外部鏈結

• 維基共享資源上的相關多媒體資源：圖蘭·帕爾
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Paul Turán, MacTutor數學史檔案 （英語）
• 倫伊·阿爾弗雷德數學研究院（英語：Alfréd Rényi Institute of Mathematics）圖蘭·帕爾紀念講座