四分位數

四分位數（英語：Quartile）是統計學中分位數的一種，即把所有數值由小到大排列並分成四等份，處於三個分割點位置的數值就是四分位數。

概念

• 第一四分位數（${\displaystyle Q_{1}}$），又稱較小四分位數，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第25%的數字。
• 第二四分位數（${\displaystyle Q_{2}}$），又稱中位數，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第50%的數字。
• 第三四分位數（${\displaystyle Q_{3}}$），又稱較大四分位數，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第75%的數字。

第三四分位數與第一四分位數的差距又稱四分位距（InterQuartile Range, IQR）。

運算過程

關於四分位數值的選擇尚存爭議^[1]。

主要選擇四分位的百分比值${\displaystyle p}$，及樣本總量${\displaystyle n}$有以下數學公式可以表示：^[2]

${\displaystyle L_{p}=n\cdot {\frac {p}{100}}}$

• 情況1：如果${\displaystyle L}$是一個整數，則取第${\displaystyle L}$和第${\displaystyle L+1}$的平均值
• 情況2：如果${\displaystyle L}$不是一個整數，則取下一個最近的整數。（比如${\displaystyle L=1.2}$， 則取${\displaystyle 2}$）

舉例

圖示中箱形圖（有四分位數及四分位距）和概率密度函數 為描述一個常規總量${\displaystyle N(0,1\sigma ^{2})}$的分佈情況

一個算法如下（可以兼用TI-83計算器）：

1. 利用中位數使數據分成兩列（不要把中位數放入已分好的數列）。
2. 第一四分位數為第一組數列的中位數；第三四分位數為第二組數列的中位數。

以下例子可以用來參考。

例1

數據總量：${\displaystyle 6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36}$

由小到大排列的結果：${\displaystyle 6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49}$

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=40\\Q_{3}=43\end{cases}}}$

例2

數據總量：${\displaystyle 7,15,36,39,40,41}$

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=37.5\\Q_{3}=40\end{cases}}}$

例3

數據總量：${\displaystyle 1,2,3,4}$

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=1.5\\Q_{2}=2.5\\Q_{3}=3.5\end{cases}}}$

應用

不論${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$ 的變異量數數值為何，均視為一個分界點，以此將總數分成四個相等部份，可以通過比較${\displaystyle Q_{1},Q_{3}}$，分析其數據變量的趨勢。

參考文獻

1. Hyndman, Rob J; Fan, Yanan. Sample quantiles in statistical packages. American Statistician. November 1996, 50 (4): 361–365 [2020-01-19]. JSTOR 2684934. doi:10.2307/2684934. （原始內容存檔於2017-01-25）.
2. http://books.google.com/books?id=1LH6tNn6CYkC&printsec=frontcover&source=bl&ots=lOg76JIira&sig=Jp_OJYojlBs0LszvhIKuWkEjBuM&hl=en&ei=U4NdSszRLoqGsgPywYCxCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1