否定後件

在經典邏輯中，否定後件（拉丁語：modus tollens）有如下論證形式：

如果P，則Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被認為是否定結論，是一種有效的認證形式。

否定後件有時會與歸謬法 (Proof by contradiction)（假設命題的否定成立，證明這會導致矛盾）或者反證法 (Proof by contrapositive)（證明如果P則Q，通過證明如果非Q則非P的方法實現）相混淆。

例子

歸謬法的例子如下：

• 假定${\displaystyle G}$是一個有限循環群，且${\displaystyle G}$是單群，則${\displaystyle G}$的階為質數。
• 也就是說，
• 若${\displaystyle G}$的階不是質數，則${\displaystyle G}$不是有限循環群，或者${\displaystyle G}$不是單群。
• 證明：
  • 假定原論述不成立，那麼就表示「${\displaystyle G}$的階不是質數」是錯的
  • 也表示說「若${\displaystyle G}$的階不是質數，則${\displaystyle G}$不是有限循環群，或者${\displaystyle G}$不是單群。」是錯的
  • 這就表示「有個集合${\displaystyle G}$是有限循環群，且${\displaystyle G}$是單群」，而且「${\displaystyle G}$的階不是質數」
  • 現在假定${\displaystyle G}$的階是${\displaystyle n}$，生成元是${\displaystyle a}$，${\displaystyle G}$單位元則記做${\displaystyle e}$，因此有${\displaystyle e=a^{n}}$
  • 由於${\displaystyle G}$是循環群，因此${\displaystyle G}$且${\displaystyle a}$是生成元，因此${\displaystyle G}$的所有元素都可表示成${\displaystyle a^{k}}$的形式，其中${\displaystyle 0\leq k<n}$；又${\displaystyle n}$不是不是質數，因此存在兩個大於等於2的正整數${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，使得${\displaystyle n=pq}$
  • 由此可知，${\displaystyle a^{p}}$是${\displaystyle G}$的元素，且${\displaystyle (a^{p})^{q}=a^{pq}=a^{n}=e}$
  • 所有形如${\displaystyle (a^{p})^{y}=a^{py}}$的元素可構成${\displaystyle G}$的一個真子群${\displaystyle H}$，且${\displaystyle H\neq \{e\}}$。
  • 由於${\displaystyle G}$是循環群，因此${\displaystyle G}$是一個交換群。
  • 由於${\displaystyle G}$是交換群，因此${\displaystyle G}$的所有子群都是正規子群。
  • ${\displaystyle H}$是${\displaystyle G}$的一個真子群。
  • ${\displaystyle H}$是${\displaystyle G}$的一個正規子群。
  • ${\displaystyle G}$有${\displaystyle \{e\}}$和自身以外的正規子群，此與${\displaystyle G}$是單群的假設矛盾。
  • 這表示先前的假設「『若${\displaystyle G}$的階不是質數，則${\displaystyle G}$不是有限循環群，或者${\displaystyle G}$不是單群。』是錯的」這條是錯的。
  • 因此原論述「假定${\displaystyle G}$是一個有限循環群，且${\displaystyle G}$是單群，則${\displaystyle G}$的階為質數。」是對的。

證明

步驟	命題	推論
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	已知
2	${\displaystyle \neg Q}$	已知
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	實質條件 (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	選言三段論 (3,2)

參見

• 肯定前件
• 肯定後件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 否定前件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 推理規則