反扭稜大星形十二面體

反扭稜大星形十二面體是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和12個正五角星組成^[1]，索引為U₆₉，對偶多面體為大逆五角六十面體（維基數據所列：Q18048506）^[2]，具有二十面體群對稱性（英語：Icosahedral symmetry）。^[3][1][4]

反扭稜大星形十二面體

類別	均勻星形多面體
對偶多面體	大逆五角六十面體（維基數據所列：Q18048506）
識別
名稱	反扭稜大星形十二面體 great inverted snub icosidodecahedron great vertisnub icosidodecahedron
參考索引	U69, C73, W116
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gisid
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	sr{5⁄3,3}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	| 5/3 2 3
性質
面	92
邊	150
頂點	60
歐拉特徵數	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	(20+60)個正三角形 12個正五角星
頂點圖	3.3.3.3.5⁄3
對稱性
對稱群	Ih, [5,3]+, 532
圖像
3.3.3.3.5⁄3 （頂點圖） 大逆五角六十面體（維基數據所列：Q18048506） （對偶多面體）
閱 論 編

性質

反扭稜大星形十二面體共由92個面、150條邊和60個頂點組成。^[3][5]在其92個面中，有80個正三角形面和12個正五角星面^[6]。這80個三角形面中有60個來自扭稜變換^[7]。

頂角的組成

在反扭稜大星形十二面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/3.3.3.3.3)^[8]來表示。

與扭稜大星形十二面體不同，反扭稜大星形十二面體中的五角星與周邊面相接的方式相反，因而構成了一個幾何上不同，但拓樸上相同的結構。其拓樸結構也與扭棱十二面體相同。^[9]

扭稜大星形十二面體	反扭稜大星形十二面體
將扭稜大星形十二面體的頂角視覺化的圖形	將反扭稜大星形十二面體的頂角視覺化的圖形

表示法

反扭稜大星形十二面體在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為^[10][11]，在施萊夫利符號中可以表示為sr{5⁄3,3}，在威佐夫記號中可以表示為| 5/3 2 3^{[3][6][10][12][4]}。

尺寸

若反扭稜大星形十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[2]

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots }$

其中${\displaystyle x}$是${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$的實根。 以${\displaystyle R^{2}}$為變量的六次方程

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

共有4個實根，分別是扭棱十二面體、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。

頂點座標

反扭稜大星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：^[1]

${\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}$和

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}$，

帶有偶數個正號，其中

${\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}$

且

${\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}$

其中${\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$為黃金比例、 ${\displaystyle \xi }$是方程式${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}$的正實根，約為1.2224727。 若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到反扭稜大星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體。

參見

• 均勻多面體列表（英語：List_of_uniform_polyhedra）
• 扭稜大星形十二面體

參考文獻

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Great Inverted Snub Icosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始內容存檔於2022-02-14）.
2. Weisstein, Eric W. (編). Great Inverted Snub Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
3. Maeder, Roman. 69: great inverted snub icosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-22]. （原始內容存檔於2022-08-22）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2013-09-02）.
5. Robert Whittaker. The Great Inverted Snub Icosidodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-22]. （原始內容存檔於2022-08-22）.
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #74, great inverted snub icosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始內容存檔於2023-01-06）.
7. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始內容存檔於2021-10-19）.
8. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-22]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-08-14）.
9. Richard Klitzing. great inverted snub icosidodecahedron, great vertisnub icosidodecahedron, gisid. bendwavy.org. [2022-08-22]. （原始內容存檔於2022-10-27）.
10. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-22]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-08-14）.
11. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始內容存檔於2018-07-07）.
12. V.Bulatov. great inverted snub icosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始內容存檔於2021-02-28）.