斜埃爾米特矩陣

如方塊矩陣A的共軛轉置A^*也是其負數，則A是斜厄米矩陣或反厄米矩陣（英語：skew-Hermitian matrix、anti-Hermitian matrix）：

A^* = −A

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

或者，如A = (a_i,j)：

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}}$

對於所有i和j。

例子

例如，以下矩陣便是斜厄米矩陣：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}}}$

性質

• 斜厄米矩陣的特徵值全是純虛數。更進一步，斜厄米矩陣都是正規矩陣。因此它們可對角化，它們不同的特徵向量一定是正交。
• 斜厄米矩陣主對角線所有元素都一定是純虛數。
• 如果A是斜厄米矩陣，那iA是厄米矩陣。
• 如果A，B是斜厄米矩陣，那麼對於所有實數a，b，aA + bB也一定是斜厄米矩陣。
• 如果A是斜厄米矩陣，那麼對於所有正整數k，A^2k都是厄米矩陣。
• 如果A是斜厄米矩陣，那A的奇數次方也是斜厄米矩陣。
• 如果A是斜厄米矩陣，那e^A是酉矩陣。
• 矩陣與其共軛轉置之差（${\displaystyle C-C^{*}}$）是斜厄米矩陣。
• 任意方塊矩陣C都可以寫成厄米矩陣A與斜厄米矩陣B之和：

${\displaystyle C=A+B\quad }$，${\displaystyle \quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad }$，${\displaystyle \quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})}$ 。

參見

• 斜對稱矩陣
• 厄米矩陣
• 正規矩陣
• 酉矩陣