反元素

數學中，反元素（英語：inverse element）又稱逆元，可推廣加法中的反數和乘法中的倒數。

定義

設S為一有二元運算 * 的集合。若e為(S,*)的單位元且a*b=e，則a稱為b的左反元素且b稱為a的右反元素。若一元素x同時是y的左反元素和右反元素時，x稱為y的兩面反元素或簡稱為反元素。S內的一有兩面反元素的元素被稱為在S內為可逆的。

正如(S,*)可以有數個左單位元或右單位元一般，一元素同時有數個左反元素或右反元素也是有可能的。甚至有可能有數個左反元素和右反元素。

若其運算 * 具有結合律，則當一元素有一左反元素和一右反元素時，這兩個會是相同且唯一的。在這一情形之下，可逆元素的集合會是個群，稱為S的可逆元素群，且標記為U(S)或${\displaystyle S^{*}}$。

例子

每一實數x都會有一加法反元素（即加法上的反元素）-x。每一非零實數x都會有一倒數（即乘法上的反元素）${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$。此外，零沒有倒數。

一元素在一體K內的方陣M為可逆的（在所有相同大小方陣的集合內，於矩陣乘法下）當且僅當其行列式不等於零。若M的行列式為零，它便不可能會有一單面反元素，因此一單面反元素必為兩面反元素。更多詳情請參見逆矩陣。

更一般地，一元素在一可交換環R內的方陣是可逆的當且僅當其行列式在R是可逆的。

一函數g是一函數f的左（右）反元素（在複合函數之下），當且僅當當${\displaystyle g\circ f}$（${\displaystyle f\circ g}$）為f定義域（對應域）上的恆等函數。在這一例子裏，一函數有右反元素而無左反元素，或許相反，是很常見的。

另見

• 加法反元素
• 倒數
• 群
• 擬群
• 除環
• 可逆元素