單純範疇

數學裏，單純範疇（simplicial category）或序數範疇（ordinal category）是範疇論中用來定義單純與余單純對象的一個構造。

正式定義

單純範疇通常記作 ${\displaystyle \Delta }$，有時也寫成 Ord。這個範疇有多個等價的描述。${\displaystyle \Delta }$ 可以描述為對象為有限序數（視為全序集），態射為保序函數範疇。這個範疇由余面映射與余退化映射生成，對應於插入或刪去順序中的元素，這些映射的關係參見單純集合。

單純對象是 ${\displaystyle \Delta }$ 上的一個預層，即從 ${\displaystyle \Delta }$ 到另一個範疇的反變函子。例如，單純集合是值域範疇為集合範疇的反變函子。類似地，余單純對象是從 ${\displaystyle \Delta }$ 出發的一個共變函子。注意在拓撲學中，這樣定義的單純對象可能稱為增廣單純對象，因為有一個增廣映射。去掉這個映射得出一個傳統定義的單純對象。

代數學定義將 ${\displaystyle \Delta }$ 等同於在單個么半生成元自由生成么半範疇。這個表述在理解一個么半範疇中的任何余么半對象如何給出一個單純對象時有用，因為它可以視為從 ${\displaystyle \Delta ^{op}}$ 到包含那個余么半對象的么半範疇的函子。類似地，這也說明了從 Monad（從而伴隨函子）構造單純集合，因為 Monad 可以視為自函子範疇中的么半對象。

參考文獻

• P. G. Goerss and J. F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics Vol. 174, Birkhäuser Basel-Boston-Berlin (1999) ISBN 3-7643-6064-X