劉維爾函數

此條目介紹的是數論中的劉維爾函數。關於名為Liouvillian function的函數，請見「劉維爾函數 (微積分)」。

劉維爾函數（Liouville function）${\displaystyle \lambda (n)}$是算術函數。對於正整數n，

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

其中${\displaystyle \Omega (n)}$表示${\displaystyle n}$的質因子數目（可重覆）（${\displaystyle \Omega (n)}$表示素數Omega函數（英語：Prime_omega_function））。因為${\displaystyle \Omega (n)}$是完全加性函數，所以${\displaystyle \lambda (n)}$是完全積性函數。（OEIS:A008836）

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1\\0\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle n}$是平方數
	若${\displaystyle n}$非平方數。

對於狄利克雷卷積，${\displaystyle \lambda }$的逆函數為${\displaystyle |\mu (n)|}$，其中${\displaystyle \mu }$為默比烏斯函數。

λ和μ的關係還有：${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right)}$

L(n)的圖象，n=1 至 10000

1919年，喬治·波利亞猜想對於正整數${\displaystyle n>1}$，${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$。1980年，田中實（日語：田中實）找到反例${\displaystyle n=906150257}$。

參考

• http://eom.springer.de/L/l059620.htm（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）