偏近點角

偏近點角 (Eccentricity Anomaly) 是在軌道上的天體現在的位置投影在垂直於橢圓半長軸的外接圓上，並從橢圓的中心量度和近拱點（periapsis）方向之間的角度。在下圖中的標示為E（角zcx）。

用於本文的變數

計算

在太空動力學，偏近點角E可以由下式計算得到：

${\displaystyle E=\arccos {{1-\left|\mathbf {r} \right|/a} \over e}}$

此處：

• ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是軌道上天體的位置向量。(線段sp),
• ${\displaystyle a\,\!}$是軌道的半長軸（線段cz），和
• ${\displaystyle e\,\!}$ 是軌道的離心率。

對平近點角M，E和M的關係是：

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin {E}.\,\!}$

這個方程式可以重新解出，從${\displaystyle E_{0}=M}$開始，並使用${\displaystyle E_{i+1}=M+e\,\sin E_{i}}$的關係。

將這個方程式的${\displaystyle e}$以級數展開，當${\displaystyle e<0.6627434}$時，最初的幾項是：

• ${\displaystyle E_{1}=M+e\,\sin M}$
• ${\displaystyle E_{2}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M}$
• ${\displaystyle E_{3}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M+{\frac {1}{8}}e^{3}(3\sin 3M-\sin M)}$.

還有其他更有效率的解決方法，可以作為推導的參考（參見Murray and Dermott ，1999, p.35），詳細的推導過程和${\displaystyle e}$在數學上的極限值可以參考Plummer (1960, section 46)。

對真近點角T，E和T的關係是：

${\displaystyle \cos {T}={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}}}$

或相等於

${\displaystyle \tan {T \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.\,}$

半徑（位置向量大小）和近點角的關係是：

${\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!}$

和

${\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {T})}.\,\!}$

相關條目

• 開普勒定律
• 平近點角
• 真近點角

參考資料

• Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
• Plummer, H.C., 1960, An Introductory treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)