純量乘法

提示：此條目頁的主題不是點積。

純量乘法（英語：scalar multiplication）是線性代數中向量空間的一種基本運算^[1][2][3]（更廣義的，是抽象代數的一個模）^[4][5])。在直覺上，將一個實數向量和一個正的實數進行純量乘法，也就是將其長度乘以此純量，方向不變。純量一詞也從此用法而來：可將向量縮放的量。純量乘法是將標量和向量相乘，結果得到一向量，和內積將兩向量相乘，得到一純量不同。

「純量乘法」的各地常用名稱
中國大陸	標量乘法、數乘
臺灣	純量乘法、係數積

用純量乘法得到一向量的三倍

向量a的純量乘法，−a和2a

定義

若K為體，而V為K上的向量空間，純量乘法為從K× V到V的函數。將K中的c和V中的v計算純量乘法，結果記為cv。

性質

純量乘法符合以下的規則：（粗體表示向量）

• 純量的加成性：(c + d)v = cv + dv；
• 向量的加成性：c(v + w) = cv + cw；
• 純量相乘和純量乘法的結合律：(cd)v = c(dv)；
• 乘以1不會改變向量：1v = v；
• 乘以0會得到零向量（英語：zero vector）：0v = 0；
• 乘以-1會得到加法反元素：(−1)v = −v.

其中+表示體或是向量空間的加法，0是體或是向量空間的加法單位元

詮釋

純量乘法可以視為是向量空間的外部二元運算或體的群作用。純量乘法的幾何詮釋是向量的拉長，方向可能會對調。

純量乘法中，V也可以是K，則純量乘法就變成體中的乘法。

若V是Kⁿ，純量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘，需另外定義。

若K是交換環而V是K上的模，同樣的定義仍可以適用。 K甚至可以是一個半環，但沒有加法反元素。若K不符合交換律，可以定義左純量乘法cv和右標量乘法vc。

相關

• 統計
• 力學
• 乘法

參考資料

1. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.
2. Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.
3. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.
4. Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
5. Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.