在數學裏,一個具有加法運算的集合中的加法單位元,是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。
基本例子
如:
- 5 + 0 = 5 = 0 + 5.
- n + 0 = n = 0 + n.
形式定義
令N是一個在加法運算下封閉的集合。N的加法單位元即為任一個能使所有在N內的元素n有下列公式的元素e:
- e + n = n = n + e.
更多例子
- 一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群,因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同,若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話,這個環則會是當然的(見下面證明)。
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證明
令(G,+)是一個群,且設0和0'是在G內的兩個加法單位元,則對於所有在G內的g而言,
- 0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.
由上可得
- (0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)
故可證明 0 = 0'。
令R是一個環,且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等,即0=1。設r為於R內的任一元素,則
- r = r × 1 = r × 0 = 0
其表示R必須是平凡的,亦即R={0}。再依照換質位法,即可得出若R不是平凡的,則0不會等於1的結論。
另見
外部連結
- 加法單位元在一個環裏的唯一性 at PlanetMath.
- Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld.
參考文獻
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.
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