餘有限空間

若給定一個集合${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$為${\displaystyle X}$的子集，使得差集${\displaystyle X-Y}$為有限集合，則稱${\displaystyle Y}$為${\displaystyle X}$的餘有限集（cofinite）。

類似地，若給定一個集合${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$為${\displaystyle X}$的子集，使得差集${\displaystyle X-Y}$為可數集，則稱${\displaystyle Y}$為餘可數集（cocountable）。

上述的東西都是一些很自然地推廣，當我們開始從有限集合進入到無限集合時。

餘有限拓撲

餘有限拓撲

餘有限拓撲是收集集合${\displaystyle X}$內所有子集${\displaystyle Y}$與集合${\displaystyle X}$的相對差集為有限集合的集合${\displaystyle Y}$，並將${\displaystyle Y}$定義為開集的拓撲，這樣的拓撲空間稱為餘有限空間。符號上，

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}}$

性質

餘有限拓撲的性質有：

• 可傳子：餘有限空間的子空間也是餘有限的。
• 緊緻、列緊
• T₁空間而非T₂空間
• Lindelöf空間
• 連通空間
• 可析空間
• 餘有限拓撲是最粗糙的T₁空間：所有X 上的T₁拓樸必定包含X 的餘有限拓撲。
• 若X 是有限的，則X 上的餘有限拓樸與離散撲拓相同。

類似地可定義餘可數空間。它必是Lindelöf空間和連通空間。

例子

EX1

我們讓${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ ，則集合${\displaystyle \{3,4,5\}}$,${\displaystyle \{2\}}$,${\displaystyle \{1,3,5,7\}}$都是有限集合，因此他們的補集${\displaystyle \{1,2,6,7,8,...\}}$,${\displaystyle \{1,3,4,5,6,7,8,...\}}$,${\displaystyle \{2,4,6,8,9,...\}}$都是餘有限拓樸內裏。

但是並不是所有的無限集合都會在餘有限拓樸中，例如我們取所有偶數的集合，他顯然是自然數的子集，但是他不在餘有限拓樸中，因為他的補集並不是有限的。同樣的道理，所有奇數的集合也不在餘有限拓樸中。

參考文獻

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 (See example 18)