林德勒夫空間

Lindelöf 空間是每個開覆蓋都有可數子覆蓋的拓撲空間。注意緊空間的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋，因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間，那麼這個拓樸空間我們稱之為可傳 Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf Space) 或強 Lindelöf 空間，但後者因為模糊且容易混淆而較少使用。

Lindelöf 空間是以芬蘭數學家 Ernst Leonard Lindelöf 的名字命名。

Lindelöf 空間的性質

• 每個緊空間，或更廣義地說，每個 σ-緊空間都是 Lindelöf 的。每個可數空間都是 Lindelöf 的。
• 一個 Lindelöf 空間是緊的若且唯若它是可數緊的。
• 每個第二可數空間都是 Lindelöf 的，反之則不然。例如，有許多緊空間並非第二可數的。
• 一個度量空間是 Lindelöf 的若且唯若它是可分的，並若且唯若它是第二可數的。
• 每個正則 Lindelöf 空間都是正規且仿緊的。
• 對於一個拓樸空間的可數多個 Lindelöf 子空間，其聯集是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空間的每個閉子空間都是 Lindelöf 的。所以每個 Lindelöf 空間中的 F_σ 集都是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空間的任意子空間不一定是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空間的連續像是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空間與緊空間的積空間是 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空間與 σ-緊空間的積空間是 Lindelöf 的。這是前一個性質的推論。
• 即使是有限個 Lindelöf 空間的積空間都未必是 Lindelöf 空間，例如，Sorgenfrey直線 ${\displaystyle S}$ 是 Lindelöf 的，但 Sorgenfrey平面 ${\displaystyle S\times S}$ 並非 Lindelöf 的。
• Lindelöf 空間中，每個由非空子集組成的局部有限族最多是可數的。

可傳 Lindelöf 空間的性質

• 一個空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它的每個開子空間都是 Lindelöf 的。
• 可傳 Lindelöf 空間對於取可數多聯集、子空間及連續像有封閉性。
• 一個正則 Lindelöf 空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它是完美正規的。
• 每個第二可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
• 每個可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
• 每個蘇斯林空間 (Suslin space) 都是可傳 Lindelöf 的。
• 每個可傳 Lindelöf 空間的拉東測度 (Radon measure) 都是 moderated。

一般化

以下的定義將緊緻與 Lindelöf 一般化。如果一個拓樸空間的每個開覆蓋都有一個基數嚴格小於 ${\displaystyle \kappa }$ 的子覆蓋，那麼我們稱這個拓樸空間是 ${\displaystyle \kappa }$-緊（或 ${\displaystyle \kappa }$-Lindelöf）的，其中 ${\displaystyle \kappa }$ 是任意基數。根據這個定義，緊空間是 ${\displaystyle \aleph _{0}}$-緊的，而 Lindelöf 是 ${\displaystyle \aleph _{1}}$-緊的。

Lindelöf 度數 (Lindelöf degree)，或稱 Lindelöf 數 (Lindelöf number)，以 ${\displaystyle l(X)}$ 表示，是使得「拓樸空間 ${\displaystyle X}$ 的每個開覆蓋，都有不比 ${\displaystyle \kappa }$ 大的子覆蓋」的最小基數 ${\displaystyle \kappa }$。 用符號表示即是：如果 ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}}$ 那麼 ${\displaystyle X}$ 是 Lindelöf 的。注意前述所定義的 Lindelöf 度數並未區分緊空間與 Lindelöf 非緊空間。有些作者用「Lindelöf 度數」表達不同的概念：使得「拓樸空間 ${\displaystyle X}$ 的每個開覆蓋，都有大小嚴格地小於 ${\displaystyle \kappa }$ 的子覆蓋」的最小基數 ${\displaystyle \kappa }$。對於後者（且較少使用）的這種定義而言，Lindelöf 度數是使得「一個拓樸空間 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle \kappa }$-緊」的最小基數。這樣的概念有時候也被稱為空間 ${\displaystyle X}$ 的緊緻性度數 (compactness degree)。

相關條目

• 可數性公理
• 林德勒夫引理

參考文獻

• Michael Gemignani, Elementary Topology (ISBN 978-0-486-66522-1) (see especially section 7.2)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446.
• I. Juhász. Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre Tracts, Amsterdam. 1980. ISBN 90-6196-196-3.