乘法群

數學與群論中，乘法群指下列概念之一：

• 域、環或運算中含有「乘法」的其他結構，可反元素形成乘法下的群。對域F，群是${\displaystyle (F\backslash \{0\},\ \cdot )}$，其中0指F的零元素，二元運算${\displaystyle \cdot }$是域乘法；
• 代數環面${\displaystyle {\rm {GL}}(1)}$。

群論
群
基本概念 子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和 單純群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 離散群 有限單群分類 循環群 Zn 交錯群 An 李型群 散在群 馬蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 揚科群 J1..4 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24 子魔群（英語：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 對稱群, Sn 二面體群, Dn 無限群 整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 連續群 李群 一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 么正群 U(n) 特殊么正群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 龐加萊群 無限維群 共形群 微分同胚群 環路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代數群 橢圓曲線 線性代數群（英語：Linear algebraic group） 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
閱 論 編

例子

• 整數模n乘法群是${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的可逆元素與乘法形成的群。n是合數時，除了0之外還有其他不可逆元素。
• 正數${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$的乘法群是阿貝爾群，1是其單位元。對數是此群到實數${\displaystyle \mathbb {R} }$加法群的群同構。
• 域F的乘法群是乘法下所有非零元素的集合：${\displaystyle F^{\times }=F-\{0\}}$。若F是q階有限體（如${\displaystyle q=p}$是質數，且${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$），則乘法群是循環群：${\displaystyle F^{\times }\cong C_{q-1}}$。

單位根的群概形

n次單位根的群概形是乘法群${\displaystyle {\rm {GL}}(1)}$上n次冪映射的核，可視作群概形。即，對任意整數${\displaystyle n>1}$，可考慮乘法群上取n次冪的態射，並取適當的纖維積，其中態射e充當單位。

產生的群概形寫作${\displaystyle \mu _{n}}$（或${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}}$^[1]）。當且僅當K的特徵不整除n時，將其放在域K上會產生最簡概形，這使其產生未約概形（冪零元素在其結構層中的概形）的一些重要例子，如p元有限體上的${\displaystyle \mu _{p}}$，p表示任意質數。

此現象不易用代數幾何的經典語言表達。例如，它在表達特徵p中的阿貝爾簇的對偶理論（皮埃爾·卡地亞的理論）時就顯得非常重要。此群概形的伽羅瓦餘調是表示庫默爾理論的一種方式。

另見

• 整數模n乘法群
• 加法群

註釋

1. Milne, James S. Étale cohomology. Princeton University Press. 1980: xiii, 66.

參考文獻

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0