三次互反律

在數學中，三次互反律是關於模代數中兩個對應的三次方程的可解性之間的關係的結論和定理。

相關術語

三次互反律最常使用艾森斯坦整數進行表述。艾森斯坦整數是指由形如 ${\displaystyle a+b\,\omega }$ 的複數組成的環，記作 ${\displaystyle \mathbb {E} }$。其中 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是整數，${\displaystyle \omega }$ 為三次單位根：

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

定理

如果 ${\displaystyle \pi }$ 是${\displaystyle \mathbb {E} }$中範數為 ${\displaystyle P}$ 的一個 素數。${\displaystyle \alpha }$ 與 ${\displaystyle \pi }$ 互素。定義三次剩餘符號${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}$ 為一個三次單位根，並滿足

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\ \equiv \ \alpha ^{(P-1)/3}\mod \pi .}$

再定義「原初」素數是模${\displaystyle 3}$同餘於${\displaystyle -1}$的素數。由於每個素數在乘以${\displaystyle \mathbb {E} }$中的一個單位元後都會成為「原初」素數，因此關於「原初」素數的定律仍具有普遍性。這時，三次互反律說明，對兩個不同的「原初」素數 ${\displaystyle \pi }$ 和 ${\displaystyle \theta }$，有

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}}$

此外有輔助定理：如果 ${\displaystyle \pi =-1+3(m+n\omega )}$ 那麼：

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}}$。

由於

${\displaystyle \left({\frac {\theta \phi }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}\left({\frac {\phi }{\pi }}\right)_{3}}$

因此可以計算任意艾森斯坦整數的三次剩餘。

參見

• 二次互反律
• 阿廷互反律

參考來源

• David A. Cox, Primes of the form ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}}$, Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
• K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.

外部連結

• planetmath上的資料