相位偏移調制,又稱相位鍵移(PSK,Phase-Shift Keying)是一種利用相位差異的訊號來傳送資料的調制方式。該傳送訊號必須為正交訊號,其基底更須為單位化訊號。
- 一個訊號所代表的數學公式
![{\displaystyle s_{i}(t)=Acos(2\pi f_{o}t+\theta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192d8801a3725d7936acd7356f255579ebb9cbf8)
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Quick Facts 調變方式, 連續調變 ...
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一般調制訊號的改變部份可分為振幅A(ASK用)、相位
(PSK用)及頻率
(FSK用)三種。其中PSK即利用相位差異來產生的調制方式。
- MPSK通用的傳輸符號之公式。
![{\displaystyle s_{i}(t)=Acos(2\pi f_{o}t+{2\pi i \over M}){\mbox{ ,where }}i=0,1,\ldots ,M-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb05a0dbef9cda565e27edcd0c9243bb0b13bc5)
PSK又可稱M-PSK或MPSK,目前有BPSK、QPSK、16PSK、64PSK等等,常用的只有QPSK。而M是代表傳送訊號的符號(symbol)種類。符號越多,傳送的位元數越多,自然在固定時間可傳送越多的資料量(bps)。
- 傳輸量公式。
![{\displaystyle bps(bits/sec)={\log _{2}M \over Ts}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b2bc5d0f61babd9e3f490c440dbf30df52e8bd)
BPSK、QPSK、8PSK及16PSK的BER對SNR圖
假設各MPSK皆在同一能量下傳送,PSK會因為符號種類(M)的提昇使位元錯誤率(Bits Error Rate,BER)快速上升。所以在符號數M大於16後都由QAM來執行調制工作。QPSK如果用格雷碼對映的方式,其BER會和BPSK一樣。所以目前常用的只有QPSK。
BPSK的坐標圖
BPSK(Binary Phase-shift keying)是PSK系列中最簡單的一種。它是使用兩個相位差180°且正交的訊號表示0及1的資料。它在坐標圖放置的點並無特別設計,兩點皆放在實數軸,分別在0°的點及180°的點。這種系統是在PSK系列中抗雜訊能力(SNR)是最佳的,在傳送過程中即使嚴重失真,在解調時仍可盡量避免錯誤的判斷。然而,由於只能調制1 bit至symbol上,所以不適合用在高帶寬資料傳送需求的系統上。
標準BPSK遵循如下公式:
![{\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi (1-n)),n=0,1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0c30f05e80d74fece87a7236988148e16597ae)
公式包含0和π兩個相位。在具體形式中,二進制數據以如下形式傳送:
代表零;
代表一。
其中fc代表載波頻率。
因此,訊號空間可以由單個基函數表示:
![{\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69f584e88516cb27e2f1003417cab2b837b3499)
其中
代表一,
代表零。
BPSK 的位元錯誤率(BER) 在加性高斯白雜訊下表示之公式:
![{\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febe4a87c90aaf67ddea7d8b9db2026c931ba6bd)
BPSK 的BER和和它的符號錯誤率(SER)是相同的。
QPSK的坐標圖,其位元對映符號方式用格雷碼對映。
QPSK,有時也稱作四相位PSK、4-PSK、4-QAM,在坐標圖上看是圓上四個對稱的點。通過四個相位,QPSK可以編碼2位元符號。圖中採用格雷碼來達到最小位元錯誤率(BER) — 是BPSK的兩倍. 這意味着可以在BPSK系統帶寬不變的情況下增大一倍數據傳送速率或者在BPSK數據傳送速率不變的情況下將所需帶寬減半。
數學分析表明,QPSK既可以在保證相同訊號帶寬的前提下倍增BPSK系統的數據速率,也可以在保證數據速率的前提下減半BPSK系統的帶寬需求。在後一種情況下,QPSK的BER與BPSK系統的BER完全相同。
由於無線電通訊的帶寬都是由FCC一類部門所事先分配規定的,QPSK較之於BPSK的優勢便開始顯現出來:QPSK系統在給定的帶寬內可以在BER相同的情況下可以提供BPSK系統兩倍的帶寬。採取QPSK系統在實際工程上的代價是其接收設備要遠比BPSK系統的接收設備複雜。然而,隨着現代電子技術的迅猛發展,這種代價已經變得微不足道。
較之BPSK系統,QPSK系統在接收端存在相位模糊的問題,所以實際應用中經常採取差分編碼QPSK的方式。
QPSK遵循如下公式:
![{\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e783181aa1c9cd5de4e5da69bfbc77eb12f28a)
公式包含π/4、3π/4、5π/4與7π/4四個相位。
在二維訊號空間中得出的以單位基函數表示的結果為:
![{\displaystyle \phi _{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972cfa07745af9ed9daeab279b2f10f8ced893be)
![{\displaystyle \phi _{2}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin(2\pi f_{c}t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9f9e3afcbb3a312ad4361b0172516c9fe460e5)
第一個基函數被用作訊號的在相分量,第二個基函數被用作訊號的正交分量。
根據上面的理論推導,QPSK的BER等同於BPSK,即:
![{\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0ffb4c180443b1d59065249dac7de76d6cfb16)
然而,為了實現相同的BER,QPSK系統需要使用BPSK兩倍的功率(假設兩個位元同時傳輸)。錯誤率模型由如下公式給出:
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如果訊號雜訊比較高,則實際錯誤率模型可估計為:
![{\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5154b52f811fcb11b0867d44e3ee4624d1ee9776)