CW複形
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CW複形,又稱胞腔複形,在拓撲學上屬於拓撲空間之一類,由J.H.C.懷特海德引入,用於同倫理論。其思想是構造一類空間,比單體複形更為廣泛(我們現在可以說,有更好的範疇論屬性);但還要保留組合的本質,因此計算方面的考慮沒有被忽略。
形式表述
粗略地說,CW複形由稱作胞腔的基本元件組成。其精確定義規定胞腔如何在拓撲意義上「粘合」。CW複形名稱中的「C」代表「閉有限」(closure-finite),而「W」則代表「弱拓撲」(weak topology)。
單個 維閉胞腔是指
維閉球在貼映射下的像。例如,每個單體都是一個閉胞腔,或更一般地,每個凸多面體都是一個閉胞腔。單個
維開胞腔則是一個同胚於
維開球的拓撲空間。零維的開(或閉)胞腔是指一個單元素空間。而「閉有限」條件要求每個閉胞腔都可由有限個開胞腔所覆蓋。
CW複形是一個郝斯多夫空間 ,連同一個將
劃為開胞腔(維度不必統一)的劃分,並滿足以下性質:
- 對
的劃分中的任意一個
維開胞腔
,存在一個從
維閉球到
的連續映射
,使得:
限制在閉球的內部上是到胞腔
的同胚,且
- 閉球的邊界在
下的像包含於
的劃分中的有限個維度小於
的元素的併集內。
的閉子集即是與每一個開胞腔交於閉集(相對於開胞腔本身的拓撲)的集合(
的拓撲為所有開胞腔的並的弱拓撲)。
相對CW複形
籠統地說,相對CW複形與CW複形的區別在於它容許一個額外的、不須帶有任何胞腔結構的組件。遵照上文的定義,這個組件被視作負一維胞腔。[1][2][3]
CW複形的歸納法定義
如果一個CW複形中胞腔的維度最大為 ,那麼我們稱這個CW複形是
維的。若胞腔的維度沒有上限,那麼我們說這個CW複形是無窮維的。CW複形的
維骨架是指所有維度不超過
的胞腔的並。如果這個併集是閉集,那麼它本身就是一個CW複形,稱為原複形的子複形。因此,CW複形的
維骨架是維度不超過
的最大子複形。
CW複形常常由其各個維度上的骨架通過歸納來定義。首先定義0維骨架為離散空間。緊接着將1維胞腔黏着到0維骨架上。這一步先將每個1維胞腔先視作1維閉球,然後通過某個從這個閉球的邊界——即0維球面 ——到0維骨架的連續影射貼合。
上的每一點都與其在該映射下的像與0維骨架上的某一點等同;這構成一個等價關係。如此,1維骨架就定義成0維骨架和所有1維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。
概括而言,給定 維骨架,
維骨架是由在此基礎上黏着
維胞腔得到。每個
維胞腔同樣先視作
維閉球,然後通過某個從這個閉球的邊界——即
維球面
——到
維骨架的連續影射貼合。
上的每一點都與其在該映射下的像與
維骨架上的某一點等同;這同樣構成一個等價關係。這樣,
維骨架就定義成
維骨架和所有
維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。
在同構意義上,每個 維CW複形都可依此由其
維骨架構造而成,因此每個有限維CW複形都能按以上方法構造。甚至對於無窮維CW複形也成立,只要藉助拓撲空間的歸納極限來描述以上無窮過程的結果,這個結論也是對的:在極限的集合
中,子集是閉集當且僅當它與每一個骨架都交於閉集(相對於骨架本身的拓撲)。
例子
- 實數集
上的標準CW結構中的0維骨架為整數集
,而1維胞腔則是區間
。相似地,在
上的標準CW結構中的胞腔是
的0維和1維胞腔的積。
- 多面體帶有自然的CW複形結構。
- 圖是一維CW複形。
- 無窮維希爾伯特空間不是CW複形:它是一個貝爾空間(見貝爾綱定理),因此不能寫成其
維骨架的並,因每個骨架都是閉集且內部為空。這個論證也可引申到許多無窮維空間。
維球面容許一個只有兩個胞腔的CW結構:一個0維胞腔和一個
維胞腔,依靠從
到0維胞腔的常映射黏着。另外一個替代的胞腔分解也很受歡迎,因赤道包含映射
的補集恰好是兩個球:上半球和下半球。由歸納法可得
的一個CW分解,每個維度
上恰好有兩個
維胞腔。
維實射影空間容許一個CW結構,每個維度
上恰好有一個
維胞腔。
- 格拉斯曼流形容許一個CW結構,其胞腔稱作舒伯特胞腔.
- 微分流形、代數和射影簇都同倫於CW複形。
- 空間
同倫於CW複形(甚至是可收縮的),但不容許任何CW結構,因其不是局部可收縮的。
- 夏威夷耳環(英語:Hawaiian earring)是不同倫於CW的拓撲空間的一例。
CW複形的同調與餘調
CW複形的奇異同調(或餘調)可以通過胞腔同調計算。此外,在CW複形和胞腔映射的範疇內,胞腔同調可以解讀成一種同調論。如要計算CW複形的廣義(上)同調,阿提亞-希策布魯赫(英語:Atiyah–Hirzebruch spectral sequence)譜序列是胞腔同調的一個類比。
以下是一些計算的實例:
- 對於球面
,取只帶有一個0維胞腔和一個
維胞腔的分解。胞腔鏈複形
與同調皆為
- 對於球面
因為所有微分算子皆為零(實際上,餘鍵複形與餘調亦然)。或者,如果我們取赤道分解,使得每個維度上各有兩個胞腔,那麼
而微分算子是形為 的矩陣。這個複形給出的同調與以上計算一致,因為複形在除
與
項外都是正合的。
- 對於複射影空間
,可以相似地算得
- 對於複射影空間
之所以這兩例中計算都尤其簡單,是因為同調完全由胞腔數目確定——換言之,胞腔的黏着映射在計算中沒有扮演任何角色。這個現象只是特例,在一般情況下並不成立。
同倫範疇
在某些專家眼中,CW複形的同倫範疇即使不是唯一的同倫範疇(基於技術原因,實際使用的版本是帶基點的空間),也是同倫範疇的最佳候選。[4]因此,可能會得出非CW複形的空間的輔助構造需儘量避免。在這方面的基本結論是布朗可表性定理:同倫範疇上的可表函子可以藉助CW複形來相當精簡地刻畫。
性質
- CW複形是局部可收縮的。
- CW複形滿足懷特黑德定理:CW複形之間的映射是同倫等價當且僅當在所有同倫群上都誘導出同構。
- 兩個CW複形的積可以轉化成一個CW複形。具體而言,設
和
為CW複形,那麼
上容許一個CW複形的結構,其胞腔即
中的胞腔與
中胞腔的積,並配備弱拓撲。不出所料,這個新的CW複形的底集合就是
本身。此外,多數情況下弱拓撲與
上的積拓撲一致,例如當
或
之一是有限CW複形(或更一般地,當它們之一是局部有限的,也即在每個維度它有有限個胞腔)。然而,如果
和
皆非局部緊,弱拓撲可能比積拓撲更精細。在這種不利的情形下,兩個複形的積(作為拓撲空間)
不是一個CW複形。另一方面,
和
在緊生成空間範疇中的積的拓撲與弱拓撲一致,因此確實定義出一個CW複形。
- 設
和
為CW複形。函數空間
(帶緊緻開拓撲)一般不是CW複形。若
是有限CW複形,那麼
同倫等價於一個CW複形;這是由於約翰·米爾諾的一個定理 (1959)。[5] 注意到
和
都是緊生成郝斯多夫空間,因此
常常取其緊生成的變種;以上結論對於這個變種仍然成立。[6]
- CW複形的覆疊空間也是CW複形。
- CW複形是仿緊空間,而有限CW複形是緊空間。CW複形的緊子空間必定包含於一有限子複形內。[7][8]
參考文獻
註釋
- Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2001.
- 例如,Baladze, D.O., CW-complex, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4聲稱"The class of CW complexes (or the class of spaces of the same homotopy type as a CW complex) is the most suitable class of topological spaces in relation to homotopy theory"
- Milnor, John, "On spaces having the homotopy type of a CW-complex (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)" Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272–280.
- Compactly Generated Spaces (PDF). [2016-05-29]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03).
- Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0. 免費電子版本可見作者的網站 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。
綜合參考
- Whitehead, J. H. C. Combinatorial homotopy. I.. Bull. Amer. Math. Soc. 1949a, 55 (5): 213–245 [2016-05-29]. MR 0030759. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09175-9. (原始內容存檔於2016-05-29). (open access)
- Whitehead, J. H. C. Combinatorial homotopy. II.. Bull. Amer. Math. Soc. 1949b, 55 (3): 453–496 [2016-05-29]. MR 0030760. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3. (原始內容存檔於2016-05-29). (open access)
- Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79540-0. 該教材在第一章定義了CW複形,且對它們的使用貫穿全書;書末有一節關於CW複形的拓撲的附錄。免費電子版本可見作者的網站(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。
- Lundell, A. T.; Weingram, S. The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. 1970. ISBN 0-442-04910-2.
- Brown, R.; Higgins, P.J.; Sivera, R. Nonabelian Algebraic Topology:filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8. 更多細節請見第一作者的網站(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)