數學中,若 是一個集合 併集子集,則集合 集合 覆蓋。用符號來說,如果 的子集索引族,則 是如下條件下的覆蓋(定義可參見: Gamelin 與 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁)

更一般的說,如果 的子集,而 的子集 搜集,它的併集包含 ,則 被稱為是 的覆蓋。也就是 的覆蓋如果

拓撲學中覆蓋

覆蓋通常用在拓撲學的上下文中。如果集合 拓撲空間,我們稱 開覆蓋,如果它的每個成員都是開集(就是說每個 都包含在 中,這裏的 上的拓撲)。

如果 的覆蓋,則 子覆蓋 的仍覆蓋 的子集。

的開覆蓋被稱為是局部有限的,如果對任意 的點 都存在一個鄰域,其只與這個覆蓋中有限多個集合有交集。用符號來說, 是局部有限的,如果對於任何 ,存在某個 的鄰域 使得集合

是有限的。

精細

的覆蓋 精細(或稱加細)是 的新覆蓋 ,使得在 中的任意的一個集合,都包含在 的某個集合中。

用符號來說,有 覆蓋 ,如果對任意的 ,都存在某個 使得 ,我們則說 是覆蓋 的精細。

所有子覆蓋也是精細,反之不然。但是注意一般的說精細將比原始覆蓋有更多的集合。

緊緻性

覆蓋的這個詞語經常用來定義與緊緻性有關的拓撲性質。一個拓撲空間 X 被稱為

  • 緊緻的,如果所有開覆蓋有有限子覆蓋。
  • 林德勒夫的,如果所有開覆蓋都有可數子覆蓋。
  • 元緊緻的,如果所有開覆蓋都有一個點有有限開精細。
  • 仿緊緻的,如果所有開覆蓋允許局部有限、精細。

引用

  1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 (英語).
  2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 (英語).

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