緊空間

在數學中，特別是點集拓撲學中，緊空間（英語：compact space）是對歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界閉集合的推廣。

歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的所有有界閉集合是緊緻的。例如，在${\displaystyle \mathbb {R} }$中，單位區間${\displaystyle [0,1]}$是緊緻的，但整數集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$不是（它不是有界的），半開區間${\displaystyle [0,1)}$也不是（它不是閉合的）。

廣義的定義是如果對於一個拓撲空間的所有開覆蓋，都可以找到有限的子覆蓋，則稱此拓撲空間是緊緻的。^[1] 根據海涅-博雷爾定理，歐幾里得空間的子集緊緻當且僅當它「閉集且有界」。

注意：某些作者如布爾巴基使用術語「預緊緻」，並把「緊緻」保留給是豪斯多夫空間並且「預緊緻」的拓撲空間。一個單一的緊緻集合有時稱為緊統（compactum）。在法語的數學著作中，quasi-compact是指緊緻，compact是指緊緻且豪斯多夫，不同於英語。^[2]

歷史和動機

術語「緊緻」是莫里斯·弗雷歇在1906年介入的。

很久以來就認識到了像緊緻性這樣的性質對於證明很多有用的定理是必需的。「緊緻」最初是指「序列緊緻」（所有序列都有收斂子序列）。這是在主要研究對象為度量空間時的使用的定義。而通過考慮開覆蓋給出的「覆蓋緊緻」的定義更加有用，因為它能將緊致的概念推廣至更一般的拓撲空間，並且很多結論與在度量空間的已有結果相吻合，特別地，度量空間中「序列緊緻」與「覆蓋緊緻」等價。這種推廣在研究函數空間的時候特別有用，而它們很多都不是度量空間。

研究緊緻空間的主要原因之一是因為它們以某種方式類似於有限集合：有很多結果易於對有限集合證明，其證明可以通過極小的變動就轉移到緊緻空間上。常說「緊緻性是在有限性之後最好的事情」。例如：

• 假設X是豪斯多夫空間，我們有一個X中的點x和不包含x的X的有限子集A。則我們可以通過鄰域來分離x和A:對於每個A中的a，設U(x)和 V(a)分別是包含x和a的不相交的鄰域系統。則所有U(x)的交集和所有V(a)的併集就是要求的x和A的鄰域。

注意如果A是無限的，則證明失敗，因為任意多個x的鄰域的交集可能不是x的鄰域。但這個證明是可以挽救的，如果A是緊緻的：我們可以簡單的選取A的覆蓋{V(a)}的有限子覆蓋。在這種方式下，我們看到在豪斯多夫空間中，任何點都可以通過不包含它的任何緊緻集合的鄰域來分離。事實上，重複這個論證證明了在豪斯多夫空間中任何兩個不相交緊緻集合可以通過領域來分離 -- 注意這正好就是我們在豪斯多夫分離公理中把「點」（就是單元素集合）替代為「緊緻集合」所得到的。涉及緊緻空間的很多論證和結果都服從這個模式。

在度量空間中，所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言，無限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)），但R中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下，對有限集成立的證明可以擴展到緊緻集。一個簡單的例子是對以下性質的證明：定義在緊緻集上的連續實值函數是一致連續的。

定義

歐幾里得空間中的緊緻性

對於歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的子集，下列四個有關緊緻性的條件是等價的：

• 所有開覆蓋都有有限子覆蓋。這是最常用的定義。
• 所有在這個集合中的序列都有收斂子序列，且它的極限點屬於這個集合。
• 這個集合的所有無限子集有在這個集合中的聚集點。
• 這個集合是閉合與有界的。這是最容易驗證的定義，例如閉區間或閉n維球。

在其他空間中，這些條件等價與否依賴於該空間的性質。

注意儘管緊緻性是集合自身（和它的拓撲）的性質，閉合性是相對於它所在的空間的；上述「閉合」的定義為在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中閉合。而在${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$中閉合的集合不在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中閉合，因此一般不是緊緻的。

拓撲空間中的緊緻性

上段中的「有限子覆蓋」性質要比「閉集與有界」更加抽象，但是它在用於 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的子集的子空間拓撲時有明顯的好處，省去了使用度量或周圍（ambient）空間的需要。因此緊緻性是個拓撲性質。閉區間[0,1]在某種意義上是本質上緊緻性的，不論它是如何嵌入${\displaystyle \mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的。

拓撲空間${\displaystyle X}$緊緻的條件是它的所有開覆蓋都有至少一個有限的子覆蓋。也就是說：

如果對於任意一個由${\displaystyle X}$的開子集構成的集合族${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，使得

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in {\mathcal {C}}}x}$

總存在一個${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的有限子集${\displaystyle F}$，使得

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}x}$

則${\displaystyle X}$緊致。

其他緊緻的等價定義利用了有限交集性質，如果拓樸空間 X 滿足下面這條件則 X 為緊緻空間：如果 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為 X 中任意一個閉子集的集族 且滿足有限交集性質，則集族 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中所有元素的交集為非空集合。^[3]。這個定義對偶於使用開集的定義。

某些作者要求緊緻空間還是豪斯多夫的，並把非豪斯多夫的緊緻性叫做預緊緻。

度量空間中的緊緻性

在度量空間內，緊緻集可以定義為滿足以下任一條件的集合：

• 任意序列有收斂子序列且該子序列的極限點屬於該集合（自列緊緻集）。
• 如果它的所有開覆蓋都有至少一個有限的子覆蓋。
• 完備且完全有界。

性質

緊緻集具有以下性質：

• 緊緻集必然是有界的閉集，但反之不一定成立。
• 緊緻集在連續函數下的像仍是緊緻集。
• 豪斯多夫空間的緊子集是閉集。
• 實數空間的非空緊子集有最大元素和最小元素。
• 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$內，一個集合是緊緻集若且唯若它是閉集並且有界。（海涅-博雷爾定理）
• 定義在緊緻集上的連續實值函數有界且有最大值和最小值。（極值定理）
• 定義在緊緻集上的連續實值函數一致連續。

其他形式的緊緻性

• 列緊緻集：每個序列都有收歛的子序列。
• 可數緊緻集：每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。
• 偽緊：所有的實值連續函數都是有界的。
• 弱可數緊緻：每個無窮子集都有極限點。

在度量空間中，以上概念均等價於緊緻集。

以下概念通常弱於緊緻集：

• 相對緊緻：如果一個子空間Y在母空間X中的閉包是緊緻的，則稱Y是相對緊緻於X。
• 預緊緻集：若空間X的子空間Y中的所有序列都有一個收歛的子序列，則稱Y是X中的預緊緻集。
• 局部緊緻空間：如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的局部基，則稱這個空間是局部緊緻空間。

參考文獻

1. James R. Munkres. Topology (second edition). United States of America: Pearson. 2017-03-10: 164. ISBN 9780134689517 （英語）.
2. François Guénard, Gilbert Lelièvre. Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie (PDF). ENS Fontenay. 1985: 24 [2014-01-02]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
3. a space is compact iff any family of closed sets having fip has non-empty intersection. PlanetMath.

引用

• H.L. Royden Real Analysis（1988）Pearson Education, Inc. Delhi, India, ISBN 978-81-297-0105-3
• 張恭慶，林源渠，《泛函分析講義》（1987）北京大學出版社，ISBN 978-7-301-00489-0
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology（1978）Springer-Verlag, New York
• Countably compact. PlanetMath.

相關條目

• 拓撲空間
• 度量空間
• 數學
• 集合論